अंतरालों के प्रकार
अंतराल (interval) वास्तविक संख्याओं का वह समूह है जो दो सिरों के बीच बिना किसी खाली जगह के होता है। दोनों सिरों को अंत-बिंदु (endpoints) कहते हैं। हर सिरा अंतराल में हो सकता है या बाहर।
| नाम | असमिका | अंतराल | सिरे |
|---|---|---|---|
| संवृत (closed) | a ≤ x ≤ b | [a, b] | दोनों शामिल |
| विवृत (open) | a < x < b | (a, b) | दोनों बाहर |
| अर्ध-विवृत | a ≤ x < b | [a, b) | a अंदर, b बाहर |
| अर्ध-विवृत | a < x ≤ b | (a, b] | a बाहर, b अंदर |
कुछ अंतरालों का एक तरफ़ सिरा नहीं होता। इन्हें अपरिबद्ध (unbounded) कहते हैं: [a, ∞) यानी x ≥ a, (a, ∞) यानी x > a, (−∞, b] यानी x ≤ b, (−∞, b) यानी x < b, और (−∞, ∞) पूरी रेखा ℝ है। चिह्न ∞ ("अनंत") सिर्फ़ इतना कहता है कि "यह कभी नहीं रुकता"। यह संख्या नहीं है, इसलिए इस पर हमेशा गोल कोष्ठक लगता है।
संख्या रेखा पर अंतराल बनाना
अंतराल बनाने के चार छोटे कदम हैं।
- संख्या रेखा खींचो और दोनों सिरे चिह्नित करो।
- हर सिरे पर भरा बिंदु लगाओ अगर सिरा शामिल है, या खोखला बिंदु अगर शामिल नहीं।
- सिरों के बीच की रेखा में रंग भरो।
- अगर अंतराल अपरिबद्ध है तो रंग को तीर पर खत्म करो।
उदाहरण: x > −1 यानी (−1, ∞)। −1 पर खोखला बिंदु, दाईं ओर रंग, अंत में तीर।
अंतराल के अंदर पूर्णांक: सिर्फ़ वही पूर्ण संख्याएँ गिनो जो अंदर हैं। (−2, 3] के लिए वे −1, 0, 1, 2, 3 हैं, यानी 5 संख्याएँ। पर अंतराल में अनगिनत संख्याएँ होती हैं, जैसे 0.5 और 2.75।
अंतरालों का सर्वनिष्ठ और संघ
दो अंतराल A और B लो।
सर्वनिष्ठ (intersection) A ∩ B: वे संख्याएँ जो A और B दोनों में हैं। रेखा पर यह ओवरलैप है। इसका बायाँ सिरा दोनों बाएँ सिरों में से बड़ा होता है। दायाँ सिरा दोनों दाएँ सिरों में से छोटा होता है। अगर कोई सिरा दोनों का एक ही है, तो वह तभी अंदर है जब दोनों अंतरालों में अंदर हो।
संघ (union) A ∪ B: वे संख्याएँ जो A या B में हैं (या दोनों में)। रेखा पर यह सारा रंग है। अगर A और B ओवरलैप करें या सिरे पर मिलें, तो संघ एक अंतराल होता है। अगर बीच में खाली जगह हो, तो संघ दो टुकड़ों में ∪ से जोड़कर लिखते हैं।
उदाहरण: A = [−3, 1], B = (−1, 4]। ओवरलैप का बायाँ सिरा: −3 और −1 में बड़ा −1 है, जिसे B शामिल नहीं करता, इसलिए (। दायाँ सिरा: 1 और 4 में छोटा 1 है, जिसे A शामिल करता है, इसलिए ]। A ∩ B = (−1, 1]। A ∪ B = [−3, 4]।
अगर सर्वनिष्ठ खाली हो तो ∅ लिखते हैं। A = [0, 1] और B = [2, 3] में ओवरलैप नहीं है, इसलिए A ∩ B = ∅ और A ∪ B = [0, 1] ∪ [2, 3]।
करके देखो: संख्या रेखा का खेल
दोस्त के साथ खेलो। एक व्यक्ति कोई अंतराल बोलता है, जैसे (−1, 4]। दूसरा उसे बनाता है और एक संख्या बताता है जो अंदर है और एक जो ठीक बाहर है। फिर दो अंतराल लेकर A ∩ B और A ∪ B निकालो। आख़िरी चरण का 3D तुम्हारे उत्तर जाँचने में मदद करेगा।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} संवृत; (a, b) = {x : a < x < b} विवृत
- [a, b) और (a, b] अर्ध-विवृत हैं
- ∞ और −∞ पर हमेशा गोल कोष्ठक
- A ∩ B: दोनों में जो संख्याएँ हैं। A ∪ B: कम से कम एक में जो हैं
- A ∩ B का बायाँ सिरा = बड़ा बायाँ सिरा; दायाँ सिरा = छोटा दायाँ सिरा
हल किए गए उदाहरण
1. −1 ≤ x < 4 को अंतराल में लिखो और बताओ कैसे बनाएँगे।
यह [−1, 4) है। −1 पर भरा बिंदु (शामिल), 4 पर खोखला बिंदु (बाहर), बीच में रंग।
2. x > 5 को अंतराल में लिखो।
x, 5 से बड़ा है और कभी नहीं रुकता: (5, ∞)। 5 बाहर है और ∞ पर हमेशा गोल कोष्ठक।
3. A = [−2, 3] और B = (1, 6] हैं। A ∩ B और A ∪ B निकालो।
ओवरलैप बड़े बाएँ सिरे 1 से शुरू होता है। B, 1 को शामिल नहीं करता, इसलिए (। यह छोटे दाएँ सिरे 3 पर खत्म होता है। A में 3 शामिल है, इसलिए ]। A ∩ B = (1, 3]। रंग −2 से 6 तक जाता है: बायाँ सिरा −2 A में है, दायाँ सिरा 6 B में है। A ∪ B = [−2, 6]।
4. A = [0, 2] और B = (2, 5) हैं। A ∩ B और A ∪ B निकालो।
संख्या 2, A में है पर B में नहीं, इसलिए कोई संख्या दोनों में नहीं: A ∩ B = ∅। पर A, 2 पर (शामिल) खत्म होता है और B ठीक 2 के बाद शुरू होता है, इसलिए खाली जगह नहीं है। A ∪ B = [0, 5)।
5. A = (−∞, 3) और B = [−1, ∞) हैं। A ∩ B और A ∪ B निकालो।
ओवरलैप: −1 (B में) से 3 (A में नहीं) तक: [−1, 3)। दोनों मिलकर हर संख्या ढक लेते हैं: A ∪ B = (−∞, ∞) = ℝ।
6. (−2, 3] में कितने पूर्णांक हैं? लिखो।
−2 बाहर है, 3 अंदर है। पूर्णांक हैं −1, 0, 1, 2, 3। यानी 5 पूर्णांक।
आम गलतियाँ
- ∞ के पास चौकोर कोष्ठक लगाना। अनंत संख्या नहीं है, इसलिए गोल कोष्ठक चाहिए: [1, ∞)।
- कोष्ठक उलट देना: [ ] का मतलब शामिल, ( ) का मतलब शामिल नहीं।
- बड़ी संख्या पहले लिख देना, जैसे (5, 2)। छोटा सिरा हमेशा पहले आता है।
- दो अलग टुकड़ों को एक अंतराल लिख देना। [0, 1] ∪ [2, 3] में खाली जगह है, इसलिए यह [0, 3] नहीं है।