आधार क्या है?
जब चीज़ें बहुत हों, तो समूह बनाकर जल्दी गिनते हैं। एक समूह के आकार को आधार कहते हैं।
हमारी रोज़ की पद्धति का आधार 10 है। दस इकाई = एक दहाई, दस दहाई = एक सैकड़ा। हर स्थान अपने दाएँ वाले से 10 गुना है।
347 का मतलब है 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1।
यह तभी चलता है जब शून्य का चिह्न हो: 307 में दहाई का स्थान खाली है।
दूसरे आधारों में समूह
दस ही लेना ज़रूरी नहीं। आधार 5 में पाँच इकाई = एक "पंचक", पाँच पंचक = एक "पच्चीसा"। स्थान हैं 1, 5, 25, 125 …
सिर्फ़ अंक 0, 1, 2, 3, 4 चाहिए। (5 होते ही नया समूह बन जाता है।)
आधार b से आधार 10
हर अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करके जोड़िए। 243₅ = 2 × 25 + 4 × 5 + 3 × 1 = 73।
आधार 10 से आधार b
बार-बार b से भाग दीजिए। शेषफल नीचे से ऊपर पढ़िए। 73 ÷ 5 = 14 शेष 3; 14 ÷ 5 = 2 शेष 4; 2 ÷ 5 = 0 शेष 2। तो 73 = 243₅।
करके देखिए: 23 राजमा के दाने लीजिए। 5-5 की कटोरियाँ भरिए। कितनी भरी कटोरियाँ, कितने दाने बचे? आपने 23 को आधार 5 में लिख दिया।
आधार 2: कंप्यूटर की भाषा
आधार 2 (द्विआधारी या बाइनरी) में सिर्फ़ दो अंक हैं: 0 और 1। स्थान हैं 1, 2, 4, 8, 16, 32 … हर एक पिछले का दोगुना।
13 = 8 + 4 + 1 = 1101₂। 10110₂ = 16 + 4 + 2 = 22।
कंप्यूटर इसे क्यों लेता है? चिप के अंदर का छोटा स्विच या तो बंद (0) होता है या चालू (1)। दो अवस्थाएँ बनाना आसान है और इनमें गड़बड़ कम होती है। अरबों स्विच मिलकर संख्या, अक्षर, चित्र और आवाज़ सँभालते हैं।
आधार 60: पुरानी पद्धति जो आज भी चलती है
लगभग 4000 साल पहले प्राचीन मेसोपोटामिया के बेबीलोन वासी आधार 60 में गिनते थे। उनके स्थान थे 1, 60, 3600 …
60 ही क्यों? यह 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 और 30 से पूरा बँट जाता है। आधा, तिहाई, चौथाई निकालना आसान होता है।
हम इसे रोज़ इस्तेमाल करते हैं:
- 60 सेकंड = 1 मिनट, 60 मिनट = 1 घंटा (3600 सेकंड)।
- पूरा चक्कर 360° का, और 1° = 60 कला (मिनट)।
2 घंटे 5 मिनट 30 सेकंड = 2 × 3600 + 5 × 60 + 30 = 7530 सेकंड। आधार 60 में यह (2, 5, 30) है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- आधार b में स्थानीय मान: 1, b, b², b³ …
- आधार b में अंक: 0 से b − 1 तक
- (d₂d₁d₀)_b = d₂ × b² + d₁ × b + d₀
- आधार 10 → आधार b: b से भाग, शेषफल नीचे से ऊपर
हल किए गए उदाहरण
1. 341 को आधार 10 के स्थानीय मानों में लिखिए।
341 = 3 × 100 + 4 × 10 + 1 × 1।
2. 1101₂ को आधार 10 में बदलिए।
दाएँ से स्थान: 1, 2, 4, 8। 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 13।
3. 312₅ को आधार 10 में बदलिए।
स्थान: 25, 5, 1। 3 × 25 + 1 × 5 + 2 × 1 = 75 + 5 + 2 = 82।
4. 25 को आधार 2 में बदलिए।
25 ÷ 2 = 12 शेष 1; 12 ÷ 2 = 6 शेष 0; 6 ÷ 2 = 3 शेष 0; 3 ÷ 2 = 1 शेष 1; 1 ÷ 2 = 0 शेष 1। ऊपर की ओर पढ़िए: 11001₂। जाँच: 16 + 8 + 1 = 25।
5. 50 को आधार 5 में बदलिए।
50 ÷ 5 = 10 शेष 0; 10 ÷ 5 = 2 शेष 0; 2 ÷ 5 = 0 शेष 2। तो 50 = 200₅। जाँच: 2 × 25 = 50।
6. 1 घंटा 20 मिनट 15 सेकंड में कितने सेकंड हैं? आधार 60 में भी लिखिए।
1 × 3600 + 20 × 60 + 15 = 3600 + 1200 + 15 = 4815 सेकंड। आधार 60 में (1, 20, 15)।
आम गलतियाँ
- आधार 5 में अंक 5 या आधार 2 में अंक 2 लिख देना। आधार b में सबसे बड़ा अंक b − 1 है।
- शेषफल ऊपर से नीचे पढ़ना। आख़िरी भाग से ऊपर की ओर पढ़िए।
- 10₂ को दस समझना। 10₂ का मतलब एक 2 और शून्य इकाई, यानी 2।
- खाली स्थानों के शून्य भूल जाना: 9 = 1001₂, 11₂ नहीं।