बिंदु आलेख (dot plot)
बिंदु आलेख में संख्या-रेखा होती है। हर आँकड़े के लिए उसके मान के ऊपर एक बिंदु लगाते हैं। बराबर मान एक के ऊपर एक जमा होते हैं।
यह कम संख्याओं (लगभग 30 तक) के लिए अच्छा है। इससे तुरंत दिखता है कि सबसे ज़्यादा कौन-सा मान आया (बहुलक), सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान, और कोई ख़ाली जगह या अलग-थलग मान।
दंड आलेख (bar graph)
दंड आलेख अलग-अलग समूहों की तुलना करता है, जिन्हें श्रेणियाँ कहते हैं (फल, खेल, शहर)। हर दंड की चौड़ाई बराबर होती है, ऊँचाई संख्या बताती है। दंडों के बीच बराबर जगह होती है, क्योंकि श्रेणियाँ अलग-अलग हैं।
अच्छे दंड आलेख में: शीर्षक, नाम लिखे अक्ष, बराबर क़दमों वाला पैमाना जो 0 से शुरू हो। द्वि-दंड आलेख में हर श्रेणी के लिए दो दंड साथ-साथ होते हैं, जैसे लड़के और लड़कियाँ।
आयतचित्र और वर्ग-अंतराल
जब बहुत सारी अलग-अलग संख्याएँ हों (लंबाई, अंक, समय), तो उन्हें 130–140, 140–150 जैसे वर्ग-अंतरालों में बाँटते हैं। हर अंतराल में आई संख्याओं की गिनती उसकी बारंबारता है।
आयतचित्र में हर अंतराल का एक दंड होता है। दंड सटे होते हैं, क्योंकि संख्या-रेखा में कोई ख़ाली जगह नहीं। आम नियम: 140 को 140–150 में गिनते हैं, 130–140 में नहीं (निचली सीमा शामिल, ऊपरी नहीं)।
| दंड आलेख | आयतचित्र |
|---|---|
| श्रेणियाँ (शब्द) | अंतरालों में संख्याएँ |
| दंडों के बीच जगह | कोई जगह नहीं |
| दंडों का क्रम बदल सकता है | क्रम संख्या-रेखा से तय |
रेखा आलेख (line graph)
रेखा आलेख दिखाता है कि कोई राशि समय के साथ कैसे बदलती है: दिन भर का तापमान, हर साल बच्चे की लंबाई, फ़ोन की बैटरी। समय x-अक्ष पर रहता है। हर माप का बिंदु लगाकर बिंदुओं को क्रम से जोड़ते हैं।
ऊपर जाती रेखा = बढ़ोतरी, नीचे = कमी, सपाट = कोई बदलाव नहीं। ज़्यादा ढलान = तेज़ बदलाव। दो मापों के बीच के बिंदु केवल अनुमान हैं।
सही आलेख कैसे चुनें
- कम संख्याएँ, हर एक देखनी है → बिंदु आलेख।
- श्रेणियों की तुलना → दंड आलेख (पूरे के हिस्सों के लिए पाई चार्ट)।
- बहुत संख्याएँ, फैलाव देखना है → आयतचित्र।
- समय के साथ बदलाव → रेखा आलेख।
भ्रामक आलेख पहचानना
हर संख्या सही होने पर भी आलेख ग़लत कहानी बता सकता है। ये बातें जाँचिए:
- अक्ष कहाँ से शुरू है? 0 की जगह 50 से शुरू होने वाला y-अक्ष छोटे अंतर को बड़ा दिखाता है। टेढ़ा-मेढ़ा टूटा निशान (break) चेतावनी देता है।
- क्या पैमाना बराबर है? 0, 10, 20, 50, 100 जैसे क़दम आलेख को दबा या खींच देते हैं।
- चित्र का आकार: चित्र दोगुना ऊँचा और दोगुना चौड़ा हो तो 4 गुना बड़ा लगता है, 2 गुना नहीं।
- शीर्षक या नाम ग़ायब: पता ही नहीं चलता कि क्या मापा गया।
- मनचाहा हिस्सा: सिर्फ़ वे महीने दिखाना जो कहानी के पक्ष में हों।
- 3D प्रभाव: दंड झुकाने से आगे वाले दंड बड़े दिखते हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- बारंबारता = कोई मान (या अंतराल) कितनी बार आया
- वर्ग-अंतराल 140–150: 140 शामिल, 150 नहीं
- अंतराल की चौड़ाई = ऊपरी सीमा − निचली सीमा
- दंड आलेख: बीच में जगह; आयतचित्र: कोई जगह नहीं
- रेखा आलेख: x-अक्ष = समय, जुड़े बिंदु बदलाव दिखाते हैं
- भ्रम की जाँच: अक्ष 0 से? पैमाना बराबर? नाम लिखे? चित्र का आकार ठीक?
हल किए गए उदाहरण
1. विद्यार्थियों द्वारा पढ़ी किताबें: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3। बिंदु आलेख शब्दों में बनाइए और बहुलक बताइए।
संख्या-रेखा 0–3। 0 पर एक बिंदु, 1 पर दो, 2 पर तीन, 3 पर एक। सबसे ऊँचा ढेर 2 पर है, इसलिए बहुलक 2 किताबें।
2. पसंदीदा खेल के वोट: क्रिकेट 12, फ़ुटबॉल 8, बैडमिंटन 5। कौन-सा आलेख बनाएँगे और अक्षों पर क्या होगा?
दंड आलेख (अलग श्रेणियाँ)। x-अक्ष: खेल, बराबर जगह के साथ। y-अक्ष: वोट, पैमाना 0, 2, 4 … 12।
3. 10 विद्यार्थियों के अंक: 12, 18, 25, 27, 31, 33, 36, 38, 41, 47। अंतराल 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 से बारंबारता सारणी बनाइए।
10–20: 12, 18 → 2। 20–30: 25, 27 → 2। 30–40: 31, 33, 36, 38 → 4। 40–50: 41, 47 → 2। कुल 10 ✓। ऊँचाई 2, 2, 4, 2 के सटे दंड बनाइए।
4. सुबह 6, 9, दोपहर 12, 3, शाम 6 बजे का तापमान: 22, 27, 32, 33, 28 °C। सबसे तेज़ बढ़ोतरी कब हुई?
बदलाव: +5, +5, +1, −5। 6–9 बजे और 9–12 बजे दोनों में 5 °C बढ़ा, इसलिए रेखा के ये दोनों हिस्से बराबर और सबसे ज़्यादा ऊपर की ओर ढलान वाले हैं।
5. एक दंड आलेख में ब्रांड A = 98, ब्रांड B = 100 है और y-अक्ष 96 से शुरू है। B का दंड A से दोगुना दिखता है। क्या यह ठीक है?
दिखने वाली ऊँचाई: 98 − 96 = 2 और 100 − 96 = 4, इसलिए B दोगुना दिखता है। असली अनुपात: 100 ÷ 98 ≈ 1.02, यानी सिर्फ़ 2% ज़्यादा। आलेख भ्रामक है; अक्ष 0 से शुरू होना चाहिए।
6. 50 को अंतराल 40–50 में गिनेंगे या 50–60 में?
50–60 में। आम नियम में निचली सीमा शामिल होती है, ऊपरी नहीं।
आम गलतियाँ
- आयतचित्र के दंडों के बीच जगह छोड़ देना। इसके दंड सटे होने चाहिए।
- श्रेणियों (जैसे फल) के लिए रेखा आलेख बनाना। रेखा तभी सही है जब x-अक्ष क्रम में हो, आम तौर पर समय।
- ऊपरी सीमा के बराबर मान को नीचे वाले अंतराल में रखना। 150 जाएगा 150–160 में।
- y-अक्ष 0 से शुरू है या नहीं, यह देखे बिना दंडों की ऊँचाई पर भरोसा करना।