Secciones de un cono
Un cono doble se forma al girar una recta inclinada (la generatriz) alrededor de un eje fijo. Las dos mitades se llaman hojas. Córtalo con un plano que no pase por la punta (vértice):
- Plano a 90° del eje → circunferencia.
- Plano un poco inclinado → elipse (un óvalo cerrado).
- Plano paralelo a una generatriz → parábola (una curva abierta).
- Plano aún más inclinado, que corta las dos hojas → hipérbola (dos ramas abiertas).
Cónicas degeneradas
Si el plano pasa por el vértice, el corte se "aplasta" en una forma más simple:
- como el corte de la circunferencia o la elipse → solo un punto;
- como el corte de la parábola → una sola recta (una generatriz);
- como el corte de la hipérbola → un par de rectas que se cruzan.
Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos a una distancia fija r (radio) de un punto fijo C(h, k) (centro). Con la fórmula de la distancia: (x − h)² + (y − k)² = r². Con el centro en el origen: x² + y² = r².
Forma general: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, con centro (−g, −f) y radio √(g² + f² − c). Completa cuadrados para hallarlos.
Parábola
Una parábola es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz). La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje; el punto a mitad de camino es el vértice.
| Ecuación | Foco | Directriz | Se abre hacia |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | la derecha |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | la izquierda |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | arriba |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | abajo |
El lado recto es la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje. Su longitud es 4a.
Elipse
Una elipse es el conjunto de puntos cuyas distancias a dos puntos fijos (focos) suman una constante 2a. Con el centro en el origen y los focos en el eje x: x²/a² + y²/b² = 1, a > b, y c² = a² − b².
- Focos (±c, 0); vértices (±a, 0); eje mayor 2a, eje menor 2b.
- Excentricidad e = c/a, y 0 < e < 1. Cerca de 0 → casi una circunferencia.
- Lado recto = 2b²/a.
- Si los focos están en el eje y: x²/b² + y²/a² = 1 (el número mayor va debajo de y²).
Hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de puntos cuyas distancias a dos focos se diferencian en una constante 2a. Forma estándar: x²/a² − y²/b² = 1, con c² = a² + b².
- Focos (±c, 0); vértices (±a, 0); eje transverso 2a, eje conjugado 2b.
- Excentricidad e = c/a > 1.
- Lado recto = 2b²/a.
- Focos en el eje y: y²/a² − x²/b² = 1 (el término positivo indica el eje).
- Las ramas se acercan a las rectas y = ±(b/a)x.
Fórmulas y definiciones clave
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: centro (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: foco (a, 0), directriz x = −a, lado recto 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- Lado recto de la elipse / hipérbola = 2b²/a
Ejemplos resueltos
1. Halla la ecuación de la circunferencia con centro (−2, 3) y radio 4.
Paso 1: (x + 2)² + (y − 3)² = 16. Paso 2: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. Paso 3: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. Halla el centro y el radio de x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0.
Paso 1: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Paso 2: (x + 4)² + (y − 5)² = 49. Paso 3: centro (−4, 5), radio 7.
3. Halla el foco, la directriz y el lado recto de y² = 12x.
Paso 1: 4a = 12, así que a = 3. Paso 2: foco (3, 0), directriz x = −3. Paso 3: lado recto = 4a = 12.
4. Halla el foco y la directriz de x² = −16y.
Paso 1: forma x² = −4ay con 4a = 16, a = 4. Paso 2: se abre hacia abajo: foco (0, −4). Paso 3: directriz y = 4.
5. Halla la parábola con vértice en el origen, eje a lo largo del eje x, que pasa por (2, 3).
Paso 1: forma y² = 4ax (el punto tiene x > 0). Paso 2: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. Paso 3: y² = 9x/2, o 2y² = 9x.
6. Para x²/25 + y²/9 = 1, halla los focos, la excentricidad y el lado recto.
Paso 1: a = 5, b = 3. Paso 2: c = √(25 − 9) = 4 → focos (±4, 0). Paso 3: e = 4/5; lado recto = 2 × 9/5 = 18/5.
7. Halla la elipse con vértices (±13, 0) y focos (±5, 0).
Paso 1: a = 13, c = 5. Paso 2: b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. Paso 3: x²/169 + y²/144 = 1.
8. Para 9y² − 4x² = 36, halla los focos y la excentricidad.
Paso 1: divide entre 36: y²/4 − x²/9 = 1, eje a lo largo de y. Paso 2: a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. Paso 3: focos (0, ±√13), e = √13/2.
9. Halla la hipérbola con focos (±5, 0) y eje transverso 8.
Paso 1: 2a = 8 → a = 4; c = 5. Paso 2: b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. Paso 3: x²/16 − y²/9 = 1.
Errores comunes
- Usar c² = a² + b² en una elipse. En la elipse es a² − b²; el más solo vale para la hipérbola.
- Leer mal el eje: en la elipse el denominador mayor decide el eje mayor; en la hipérbola lo decide el término positivo.
- Tomar a = 12 en y² = 12x. Aquí 4a = 12, así que a = 3.
- Olvidar pasar la constante al completar cuadrados, y que el radio salga mal.