Sections d'un cône
Un double cône se forme en faisant tourner une droite inclinée (la génératrice) autour d'un axe fixe. Les deux moitiés s'appellent des nappes. Coupe-le avec un plan qui ne passe pas par la pointe (le sommet) :
- Plan à 90° de l'axe → cercle.
- Plan un peu incliné → ellipse (un ovale fermé).
- Plan parallèle à une génératrice → parabole (une seule courbe ouverte).
- Plan encore plus incliné, qui coupe les deux nappes → hyperbole (deux branches ouvertes).
Coniques dégénérées
Si le plan passe par le sommet, la coupe est « écrasée » en une forme plus simple :
- comme pour la coupe du cercle ou de l'ellipse → un simple point ;
- comme pour la coupe de la parabole → une seule droite (une génératrice) ;
- comme pour la coupe de l'hyperbole → une paire de droites sécantes.
Cercle
Un cercle est l'ensemble de tous les points situés à une distance fixe r (le rayon) d'un point fixe C(h, k) (le centre). Avec la formule de la distance : (x − h)² + (y − k)² = r². Centre à l'origine : x² + y² = r².
Forme générale : x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, de centre (−g, −f) et de rayon √(g² + f² − c). Complète les carrés pour les trouver.
Parabole
Une parabole est l'ensemble des points à égale distance d'un point fixe (le foyer) et d'une droite fixe (la directrice). La droite qui passe par le foyer et qui est perpendiculaire à la directrice est l'axe ; le point situé au milieu est le sommet.
| Équation | Foyer | Directrice | S'ouvre vers |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | la droite |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | la gauche |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | le haut |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | le bas |
Le latus rectum est la corde qui passe par le foyer et qui est perpendiculaire à l'axe. Sa longueur est 4a.
Ellipse
Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes (les foyers) est une constante 2a. Avec le centre à l'origine et les foyers sur l'axe des x : x²/a² + y²/b² = 1, a > b, et c² = a² − b².
- Foyers (±c, 0) ; sommets (±a, 0) ; grand axe 2a, petit axe 2b.
- Excentricité e = c/a, avec 0 < e < 1. Presque 0 → presque un cercle.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Si les foyers sont sur l'axe des y : x²/b² + y²/a² = 1 (le plus grand nombre est sous y²).
Hyperbole
Une hyperbole est l'ensemble des points dont la différence des distances à deux foyers est une constante 2a. Forme standard : x²/a² − y²/b² = 1, avec c² = a² + b².
- Foyers (±c, 0) ; sommets (±a, 0) ; axe transverse 2a, axe conjugué 2b.
- Excentricité e = c/a > 1.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Foyers sur l'axe des y : y²/a² − x²/b² = 1 (le terme positif indique l'axe).
- Les branches se rapprochent des droites y = ±(b/a)x.
Formules et définitions clés
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 : centre (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax : foyer (a, 0), directrice x = −a, latus rectum 4a
- x²/a² + y²/b² = 1 : c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1 : c² = a² + b², e = c/a > 1
- Latus rectum d'une ellipse / hyperbole = 2b²/a
Exemples résolus
1. Trouve l'équation du cercle de centre (−2, 3) et de rayon 4.
Étape 1 : (x + 2)² + (y − 3)² = 16. Étape 2 : x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. Étape 3 : x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. Trouve le centre et le rayon de x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0.
Étape 1 : (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Étape 2 : (x + 4)² + (y − 5)² = 49. Étape 3 : centre (−4, 5), rayon 7.
3. Trouve le foyer, la directrice et le latus rectum de y² = 12x.
Étape 1 : 4a = 12, donc a = 3. Étape 2 : foyer (3, 0), directrice x = −3. Étape 3 : latus rectum = 4a = 12.
4. Trouve le foyer et la directrice de x² = −16y.
Étape 1 : forme x² = −4ay avec 4a = 16, a = 4. Étape 2 : elle s'ouvre vers le bas : foyer (0, −4). Étape 3 : directrice y = 4.
5. Trouve la parabole de sommet l'origine, d'axe l'axe des x, qui passe par (2, 3).
Étape 1 : forme y² = 4ax (le point a x > 0). Étape 2 : 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. Étape 3 : y² = 9x/2, ou 2y² = 9x.
6. Pour x²/25 + y²/9 = 1, trouve les foyers, l'excentricité et le latus rectum.
Étape 1 : a = 5, b = 3. Étape 2 : c = √(25 − 9) = 4 → foyers (±4, 0). Étape 3 : e = 4/5 ; latus rectum = 2 × 9/5 = 18/5.
7. Trouve l'ellipse de sommets (±13, 0) et de foyers (±5, 0).
Étape 1 : a = 13, c = 5. Étape 2 : b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. Étape 3 : x²/169 + y²/144 = 1.
8. Pour 9y² − 4x² = 36, trouve les foyers et l'excentricité.
Étape 1 : divise par 36 : y²/4 − x²/9 = 1, axe selon y. Étape 2 : a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. Étape 3 : foyers (0, ±√13), e = √13/2.
9. Trouve l'hyperbole de foyers (±5, 0) et d'axe transverse 8.
Étape 1 : 2a = 8 → a = 4 ; c = 5. Étape 2 : b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. Étape 3 : x²/16 − y²/9 = 1.
Erreurs fréquentes
- Utiliser c² = a² + b² pour une ellipse. Pour une ellipse, c'est a² − b² ; le plus ne sert que pour l'hyperbole.
- Mal lire l'axe : dans une ellipse, le plus grand dénominateur décide du grand axe ; dans une hyperbole, c'est le terme positif qui décide.
- Prendre a = 12 dans y² = 12x. Ici 4a = 12, donc a = 3.
- Oublier de déplacer la constante quand on complète les carrés, et se tromper sur le rayon.