Seções de um cone
Um cone duplo é formado girando uma reta inclinada (a geratriz) em torno de um eixo fixo. As duas metades se chamam folhas. Corte-o com um plano que não passa pela ponta (vértice):
- Plano a 90° do eixo → circunferência.
- Plano um pouco inclinado → elipse (um oval fechado).
- Plano paralelo a uma geratriz → parábola (uma curva aberta).
- Plano ainda mais inclinado, cortando as duas folhas → hipérbole (dois ramos abertos).
Cônicas degeneradas
Se o plano passa pelo vértice, o corte fica "achatado" numa forma mais simples:
- como o corte da circunferência/elipse → apenas um ponto;
- como o corte da parábola → uma única reta (uma geratriz);
- como o corte da hipérbole → um par de retas concorrentes.
Circunferência
Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos a uma distância fixa r (raio) de um ponto fixo C(h, k) (centro). Pela fórmula da distância: (x − h)² + (y − k)² = r². Com centro na origem: x² + y² = r².
Forma geral: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, com centro (−g, −f) e raio √(g² + f² − c). Complete os quadrados para encontrá-los.
Parábola
Uma parábola é o conjunto de pontos à mesma distância de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). A reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é o eixo; o ponto no meio é o vértice.
| Equação | Foco | Diretriz | Abre para |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | direita |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | esquerda |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | cima |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | baixo |
O latus rectum é a corda que passa pelo foco, perpendicular ao eixo. Seu comprimento é 4a.
Elipse
Uma elipse é o conjunto de pontos cujas distâncias a dois pontos fixos (focos) somam uma constante 2a. Com centro na origem e focos no eixo x: x²/a² + y²/b² = 1, a > b, e c² = a² − b².
- Focos (±c, 0); vértices (±a, 0); eixo maior 2a, eixo menor 2b.
- Excentricidade e = c/a, com 0 < e < 1. Perto de 0 → quase uma circunferência.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Se os focos estão no eixo y: x²/b² + y²/a² = 1 (o número maior fica embaixo de y²).
Hipérbole
Uma hipérbole é o conjunto de pontos cujas distâncias a dois focos têm diferença constante 2a. Forma padrão: x²/a² − y²/b² = 1, com c² = a² + b².
- Focos (±c, 0); vértices (±a, 0); eixo transverso 2a, eixo conjugado 2b.
- Excentricidade e = c/a > 1.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Focos no eixo y: y²/a² − x²/b² = 1 (o termo positivo indica o eixo).
- Os ramos se aproximam das retas y = ±(b/a)x.
Fórmulas e definições principais
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: centro (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: foco (a, 0), diretriz x = −a, latus rectum 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- Latus rectum da elipse / hipérbole = 2b²/a
Exemplos resolvidos
1. Encontre a equação da circunferência com centro (−2, 3) e raio 4.
Passo 1: (x + 2)² + (y − 3)² = 16. Passo 2: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. Passo 3: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. Encontre o centro e o raio de x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0.
Passo 1: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Passo 2: (x + 4)² + (y − 5)² = 49. Passo 3: centro (−4, 5), raio 7.
3. Encontre o foco, a diretriz e o latus rectum de y² = 12x.
Passo 1: 4a = 12, logo a = 3. Passo 2: foco (3, 0), diretriz x = −3. Passo 3: latus rectum = 4a = 12.
4. Encontre o foco e a diretriz de x² = −16y.
Passo 1: forma x² = −4ay com 4a = 16, a = 4. Passo 2: abre para baixo: foco (0, −4). Passo 3: diretriz y = 4.
5. Encontre a parábola com vértice na origem, eixo ao longo do eixo x, passando por (2, 3).
Passo 1: forma y² = 4ax (o ponto tem x > 0). Passo 2: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. Passo 3: y² = 9x/2, ou 2y² = 9x.
6. Para x²/25 + y²/9 = 1, encontre os focos, a excentricidade e o latus rectum.
Passo 1: a = 5, b = 3. Passo 2: c = √(25 − 9) = 4 → focos (±4, 0). Passo 3: e = 4/5; latus rectum = 2 × 9/5 = 18/5.
7. Encontre a elipse com vértices (±13, 0) e focos (±5, 0).
Passo 1: a = 13, c = 5. Passo 2: b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. Passo 3: x²/169 + y²/144 = 1.
8. Para 9y² − 4x² = 36, encontre os focos e a excentricidade.
Passo 1: divida por 36: y²/4 − x²/9 = 1, eixo ao longo de y. Passo 2: a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. Passo 3: focos (0, ±√13), e = √13/2.
9. Encontre a hipérbole com focos (±5, 0) e eixo transverso 8.
Passo 1: 2a = 8 → a = 4; c = 5. Passo 2: b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. Passo 3: x²/16 − y²/9 = 1.
Erros comuns
- Usar c² = a² + b² na elipse. Na elipse é a² − b²; o mais só vale para a hipérbole.
- Ler o eixo errado: na elipse o denominador maior define o eixo maior; na hipérbole o termo positivo define o eixo.
- Tomar a = 12 em y² = 12x. Aqui 4a = 12, então a = 3.
- Esquecer de passar a constante ao completar quadrados, e o raio sai errado.