Le sezioni di un cono
Un doppio cono si ottiene facendo ruotare una retta inclinata (la generatrice) attorno a un asse fisso. Le due metà si chiamano falde. Taglialo con un piano che non passa per la punta (il vertice):
- Piano a 90° rispetto all'asse → circonferenza.
- Piano inclinato di poco → ellisse (un ovale chiuso).
- Piano parallelo a una generatrice → parabola (una curva aperta).
- Piano ancora più inclinato, che taglia entrambe le falde → iperbole (due rami aperti).
Le coniche degeneri
Se il piano passa per il vertice, il taglio si "schiaccia" in una forma più semplice:
- come il taglio della circonferenza/ellisse → solo un punto;
- come il taglio della parabola → una sola retta (una generatrice);
- come il taglio dell'iperbole → una coppia di rette incidenti.
Circonferenza
Una circonferenza è l'insieme di tutti i punti a distanza fissa r (raggio) da un punto fisso C(h, k) (centro). Con la formula della distanza: (x − h)² + (y − k)² = r². Con il centro nell'origine: x² + y² = r².
Forma generale: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, con centro (−g, −f) e raggio √(g² + f² − c). Per trovarli si completano i quadrati.
Parabola
Una parabola è l'insieme dei punti equidistanti da un punto fisso (fuoco) e da una retta fissa (direttrice). La retta per il fuoco perpendicolare alla direttrice è l'asse; il punto a metà strada è il vertice.
| Equazione | Fuoco | Direttrice | Si apre verso |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | destra |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | sinistra |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | l'alto |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | il basso |
Il latus rectum è la corda che passa per il fuoco ed è perpendicolare all'asse. La sua lunghezza è 4a.
Ellisse
Un'ellisse è l'insieme dei punti la cui somma delle distanze da due punti fissi (fuochi) è una costante 2a. Con il centro nell'origine e i fuochi sull'asse x: x²/a² + y²/b² = 1, a > b, e c² = a² − b².
- Fuochi (±c, 0); vertici (±a, 0); asse maggiore 2a, asse minore 2b.
- Eccentricità e = c/a, con 0 < e < 1. Vicina a 0 → quasi una circonferenza.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Se i fuochi sono sull'asse y: x²/b² + y²/a² = 1 (il numero più grande sta sotto y²).
Iperbole
Un'iperbole è l'insieme dei punti la cui differenza delle distanze da due fuochi è una costante 2a. Forma standard: x²/a² − y²/b² = 1, con c² = a² + b².
- Fuochi (±c, 0); vertici (±a, 0); asse trasverso 2a, asse coniugato 2b.
- Eccentricità e = c/a > 1.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Fuochi sull'asse y: y²/a² − x²/b² = 1 (il termine positivo indica l'asse).
- I rami si avvicinano alle rette y = ±(b/a)x.
Formule e definizioni chiave
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: centro (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: fuoco (a, 0), direttrice x = −a, latus rectum 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- Latus rectum di ellisse / iperbole = 2b²/a
Esempi svolti
1. Trova l'equazione della circonferenza di centro (−2, 3) e raggio 4.
Passo 1: (x + 2)² + (y − 3)² = 16. Passo 2: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. Passo 3: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. Trova centro e raggio di x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0.
Passo 1: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Passo 2: (x + 4)² + (y − 5)² = 49. Passo 3: centro (−4, 5), raggio 7.
3. Trova fuoco, direttrice e latus rectum di y² = 12x.
Passo 1: 4a = 12, quindi a = 3. Passo 2: fuoco (3, 0), direttrice x = −3. Passo 3: latus rectum = 4a = 12.
4. Trova fuoco e direttrice di x² = −16y.
Passo 1: forma x² = −4ay con 4a = 16, a = 4. Passo 2: si apre verso il basso: fuoco (0, −4). Passo 3: direttrice y = 4.
5. Trova la parabola con vertice nell'origine, asse lungo l'asse x, passante per (2, 3).
Passo 1: forma y² = 4ax (il punto ha x > 0). Passo 2: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. Passo 3: y² = 9x/2, cioè 2y² = 9x.
6. Per x²/25 + y²/9 = 1, trova fuochi, eccentricità e latus rectum.
Passo 1: a = 5, b = 3. Passo 2: c = √(25 − 9) = 4 → fuochi (±4, 0). Passo 3: e = 4/5; latus rectum = 2 × 9/5 = 18/5.
7. Trova l'ellisse con vertici (±13, 0) e fuochi (±5, 0).
Passo 1: a = 13, c = 5. Passo 2: b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. Passo 3: x²/169 + y²/144 = 1.
8. Per 9y² − 4x² = 36, trova i fuochi e l'eccentricità.
Passo 1: dividi per 36: y²/4 − x²/9 = 1, asse lungo y. Passo 2: a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. Passo 3: fuochi (0, ±√13), e = √13/2.
9. Trova l'iperbole con fuochi (±5, 0) e asse trasverso 8.
Passo 1: 2a = 8 → a = 4; c = 5. Passo 2: b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. Passo 3: x²/16 − y²/9 = 1.
Errori comuni
- Usare c² = a² + b² per un'ellisse. Per l'ellisse è a² − b²; il più vale solo per l'iperbole.
- Sbagliare l'asse: nell'ellisse il denominatore più grande decide l'asse maggiore; nell'iperbole decide il termine positivo.
- Prendere a = 12 in y² = 12x. Qui 4a = 12, quindi a = 3.
- Dimenticare di spostare la costante quando si completano i quadrati: il raggio viene sbagliato.