Velocità di variazione delle grandezze
Se y dipende da x, allora dy/dx è la velocità di variazione di y rispetto a x. Nel punto x = a si scrive (dy/dx) in a, oppure f′(a).
Se x e y cambiano entrambe nel tempo t, si usa la regola della catena: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
Esempio: il raggio di un cerchio cresce di 0.5 cm/s. L'area è A = πr², quindi dA/dt = 2πr × dr/dt. Per r = 4 cm, dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s.
Anche il costo marginale e il ricavo marginale in economia sono derivate: indicano di quanto cambiano costo o ricavo producendo un pezzo in più.
Funzioni crescenti e decrescenti
In un intervallo in cui f è derivabile:
- f′(x) > 0 per ogni x → f è strettamente crescente (il grafico sale da sinistra a destra).
- f′(x) < 0 per ogni x → f è strettamente decrescente.
- f′(x) = 0 per ogni x → f è costante.
Come trovare gli intervalli
- Calcola f′(x) e risolvi f′(x) = 0.
- Questi punti dividono la retta dei numeri in intervalli.
- Controlla il segno di f′ in ogni intervallo.
Per f(x) = x³ − 3x: f′ = 3(x − 1)(x + 1). La funzione è crescente in (−∞, −1) e in (1, ∞), decrescente in (−1, 1).
Massimi e minimi
Un massimo locale è un punto più alto di tutti i punti vicini; un minimo locale è più basso di tutti i punti vicini. In un punto simile (se la funzione è liscia) f′(c) = 0. I punti con f′(c) = 0 o con f′ non definita si chiamano punti critici.
Test della derivata prima
- f′ passa da + a − in c → massimo locale.
- f′ passa da − a + in c → minimo locale.
- Nessun cambio di segno → né massimo né minimo (un flesso, come x³ in 0).
Test della derivata seconda
- f′(c) = 0 e f″(c) < 0 → massimo locale.
- f′(c) = 0 e f″(c) > 0 → minimo locale.
- f″(c) = 0 → il test non decide; si torna al test della derivata prima.
Massimo e minimo assoluti su [a, b]
Trova tutti i punti critici dentro [a, b], calcola f in quei punti e agli estremi a e b. Il valore più grande è il massimo assoluto, il più piccolo è il minimo assoluto.
Problemi di vita reale
- Scegli la grandezza da rendere massima o minima (volume, area, costo).
- Scrivila in funzione di una sola variabile usando la condizione data.
- Derivala, poni la derivata uguale a 0 e risolvi.
- Usa il test della derivata seconda (o prima) per capire se è un massimo o un minimo.
- Rispondi alla domanda con le unità di misura.
Esempio della scatola: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6). x = 6 non dà nessuna scatola, quindi x = 2; V″(2) = −48 < 0, un massimo di 128 cm³.
Formule e definizioni chiave
- Velocità di variazione: dy/dx; grandezze legate dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → crescente, f′(x) < 0 → decrescente
- Punto critico: f′(c) = 0 oppure f′(c) non esiste
- Test della derivata prima: + → − massimo, − → + minimo
- Test della derivata seconda: f″(c) < 0 massimo, f″(c) > 0 minimo
Esempi svolti
1. Il lato di un quadrato cresce di 3 cm/s. Con che velocità cresce l'area quando il lato è 10 cm?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s.
2. Il raggio di un palloncino aumenta di 2 cm/s. Trova la velocità di variazione del volume quando r = 5 cm.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s.
3. Il costo per produrre x pezzi è C(x) = 0.5x² + 10x + 100. Trova il costo marginale per x = 20.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. Produrre il 21° pezzo costa circa ₹30 in più.
4. Trova gli intervalli in cui f(x) = x² − 4x + 1 è crescente o decrescente.
f′(x) = 2x − 4 = 0 per x = 2. Per x < 2, f′ < 0 (decrescente); per x > 2, f′ > 0 (crescente).
5. Trova i massimi e i minimi locali di f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → massimo locale f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → minimo locale f(2) = 5.
6. Trova il massimo e il minimo assoluti di f(x) = x³ − 3x su [0, 3].
Punto critico interno: x = 1 (x = −1 è fuori). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Massimo assoluto 18 in x = 3, minimo assoluto −2 in x = 1.
7. Due numeri positivi hanno somma 20. Trovali in modo che il loro prodotto sia massimo.
I numeri sono x e 20 − x. P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → massimo. I numeri sono 10 e 10, prodotto 100.
8. Un rettangolo ha perimetro 40 m. Mostra che la sua area è massima quando è un quadrato.
Lati x e 20 − x, A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. Entrambi i lati 10 m: un quadrato di area 100 m².
Errori comuni
- Pensare che f′(c) = 0 voglia sempre dire massimo o minimo. Per x³ in 0 la pendenza è 0 ma la curva continua a salire.
- Dimenticare di controllare gli estremi quando si cerca il massimo o il minimo assoluto su un intervallo chiuso.
- Nei problemi con parole, derivare prima di aver scritto la grandezza in una sola variabile.
- Mescolare le unità nelle velocità: se r è in cm e il tempo in s, il risultato è in cm²/s o cm³/s.