Schnitte eines Kegels
Ein Doppelkegel entsteht, wenn sich eine schräge Gerade (die Mantellinie) um eine feste Achse dreht. Die beiden Hälften heißen Kegelmäntel. Schneide ihn mit einer Ebene, die nicht durch die Spitze (den Scheitel) geht:
- Ebene im Winkel von 90° zur Achse → Kreis.
- Ebene etwas gekippt → Ellipse (ein geschlossenes Oval).
- Ebene parallel zu einer Mantellinie → Parabel (eine offene Kurve).
- Ebene noch stärker gekippt, sodass beide Kegelmäntel geschnitten werden → Hyperbel (zwei offene Äste).
Entartete Kegelschnitte
Geht die Ebene durch die Spitze, wird der Schnitt zu einer einfacheren Form "zusammengedrückt":
- wie beim Kreis- oder Ellipsenschnitt → nur ein Punkt;
- wie beim Parabelschnitt → eine einzelne Gerade (eine Mantellinie);
- wie beim Hyperbelschnitt → ein Paar sich schneidender Geraden.
Kreis
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte mit festem Abstand r (Radius) von einem festen Punkt C(h, k) (Mittelpunkt). Mit der Abstandsformel erhält man: (x − h)² + (y − k)² = r². Liegt der Mittelpunkt im Ursprung: x² + y² = r².
Allgemeine Form: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 mit Mittelpunkt (−g, −f) und Radius √(g² + f² − c). Mit quadratischer Ergänzung findest du beides.
Parabel
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (Brennpunkt) und einer festen Geraden (Leitgerade) gleich weit entfernt sind. Die Gerade durch den Brennpunkt senkrecht zur Leitgeraden ist die Achse; der Punkt genau in der Mitte ist der Scheitel.
| Gleichung | Brennpunkt | Leitgerade | Öffnung |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | nach rechts |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | nach links |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | nach oben |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | nach unten |
Das Latus rectum ist die Sehne durch den Brennpunkt senkrecht zur Achse. Seine Länge ist 4a.
Ellipse
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten (den Brennpunkten) zusammen eine Konstante 2a ergeben. Mit Mittelpunkt im Ursprung und Brennpunkten auf der x-Achse: x²/a² + y²/b² = 1, a > b, und c² = a² − b².
- Brennpunkte (±c, 0); Scheitel (±a, 0); große Achse 2a, kleine Achse 2b.
- Exzentrizität e = c/a, und 0 < e < 1. Nahe bei 0 → fast ein Kreis.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Liegen die Brennpunkte auf der y-Achse: x²/b² + y²/a² = 1 (die größere Zahl steht unter y²).
Hyperbel
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Abstände von zwei Brennpunkten sich um eine Konstante 2a unterscheiden. Standardform: x²/a² − y²/b² = 1 mit c² = a² + b².
- Brennpunkte (±c, 0); Scheitel (±a, 0); Hauptachse 2a, Nebenachse 2b.
- Exzentrizität e = c/a > 1.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Brennpunkte auf der y-Achse: y²/a² − x²/b² = 1 (der positive Term zeigt die Achse).
- Die Äste nähern sich den Geraden y = ±(b/a)x.
Wichtige Formeln und Definitionen
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: Mittelpunkt (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: Brennpunkt (a, 0), Leitgerade x = −a, Latus rectum 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- Latus rectum von Ellipse / Hyperbel = 2b²/a
Gelöste Beispiele
1. Bestimme die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt (−2, 3) und Radius 4.
Schritt 1: (x + 2)² + (y − 3)² = 16. Schritt 2: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. Schritt 3: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. Bestimme Mittelpunkt und Radius von x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0.
Schritt 1: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Schritt 2: (x + 4)² + (y − 5)² = 49. Schritt 3: Mittelpunkt (−4, 5), Radius 7.
3. Bestimme Brennpunkt, Leitgerade und Latus rectum von y² = 12x.
Schritt 1: 4a = 12, also a = 3. Schritt 2: Brennpunkt (3, 0), Leitgerade x = −3. Schritt 3: Latus rectum = 4a = 12.
4. Bestimme Brennpunkt und Leitgerade von x² = −16y.
Schritt 1: Form x² = −4ay mit 4a = 16, a = 4. Schritt 2: öffnet nach unten: Brennpunkt (0, −4). Schritt 3: Leitgerade y = 4.
5. Bestimme die Parabel mit Scheitel im Ursprung, Achse entlang der x-Achse, durch den Punkt (2, 3).
Schritt 1: Form y² = 4ax (der Punkt hat x > 0). Schritt 2: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. Schritt 3: y² = 9x/2, oder 2y² = 9x.
6. Bestimme für x²/25 + y²/9 = 1 die Brennpunkte, die Exzentrizität und das Latus rectum.
Schritt 1: a = 5, b = 3. Schritt 2: c = √(25 − 9) = 4 → Brennpunkte (±4, 0). Schritt 3: e = 4/5; Latus rectum = 2 × 9/5 = 18/5.
7. Bestimme die Ellipse mit Scheiteln (±13, 0) und Brennpunkten (±5, 0).
Schritt 1: a = 13, c = 5. Schritt 2: b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. Schritt 3: x²/169 + y²/144 = 1.
8. Bestimme für 9y² − 4x² = 36 die Brennpunkte und die Exzentrizität.
Schritt 1: durch 36 teilen: y²/4 − x²/9 = 1, Achse entlang y. Schritt 2: a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. Schritt 3: Brennpunkte (0, ±√13), e = √13/2.
9. Bestimme die Hyperbel mit Brennpunkten (±5, 0) und Hauptachse 8.
Schritt 1: 2a = 8 → a = 4; c = 5. Schritt 2: b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. Schritt 3: x²/16 − y²/9 = 1.
Häufige Fehler
- c² = a² + b² bei einer Ellipse benutzen. Bei der Ellipse gilt a² − b²; das Plus gilt nur für die Hyperbel.
- Die Achse falsch ablesen: Bei der Ellipse bestimmt der größere Nenner die große Achse; bei der Hyperbel bestimmt der positive Term die Achse.
- a = 12 bei y² = 12x nehmen. Hier ist 4a = 12, also a = 3.
- Beim Ergänzen zum Quadrat die Konstante nicht auf die andere Seite bringen, sodass der Radius falsch wird.