Steigung einer Geraden
Die Steigung sagt, wie steil eine Gerade ist. Gehe auf der Geraden von einem Punkt zu einem anderen. Die Änderung von y ist der Anstieg. Die Änderung von x ist der Schritt nach rechts.
m = Anstieg ÷ Schritt = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Bildet die Gerade den Winkel θ mit der positiven x-Achse, dann gilt m = tan θ (θ ≠ 90°).
- Gerade steigt nach rechts: m > 0. Fällt sie: m < 0.
- Waagerechte Gerade (parallel zur x-Achse): m = 0.
- Senkrechte Gerade (parallel zur y-Achse): Die Steigung ist nicht definiert.
Parallel, senkrecht und kollinear
Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: m₁ = m₂. Sie stehen senkrecht aufeinander, wenn m₁ × m₂ = −1 gilt (keine der Geraden ist senkrecht zur x-Achse). Drei Punkte A, B, C liegen auf einer Geraden (kollinear), wenn die Steigung von AB gleich der Steigung von BC ist.
Winkel zwischen zwei Geraden
Zwei sich schneidende Geraden bilden zwei Winkel, die zusammen 180° ergeben. Sind die Steigungen m₁ und m₂ und gilt 1 + m₁m₂ ≠ 0, dann findest du den spitzen Winkel θ so:
tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
Der andere Winkel ist 180° − θ. Ist 1 + m₁m₂ = 0, stehen die Geraden senkrecht aufeinander (θ = 90°).
Formen der Geradengleichung
Die Gleichung einer Geraden ist eine Regel, die jeder Punkt der Geraden erfüllt und kein anderer Punkt.
- Parallel zur x-Achse: y = b. Parallel zur y-Achse: x = a. (Die x-Achse selbst ist y = 0.)
- Punkt-Steigungs-Form: y − y₁ = m(x − x₁), durch (x₁, y₁) mit Steigung m.
- Steigungsform: y = mx + c, wobei c der y-Achsenabschnitt ist. (Ist der x-Achsenabschnitt d, dann gilt y = m(x − d).)
- Zwei-Punkte-Form: y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁).
- Achsenabschnittsform: x/a + y/b = 1, die Gerade schneidet die x-Achse bei a und die y-Achse bei b.
Jede Gerade lässt sich als Ax + By + C = 0 schreiben (allgemeine Form). Ihre Steigung ist −A/B und ihr y-Achsenabschnitt ist −C/B.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Geraden ist das Lot. Für den Punkt P(x₁, y₁) und die Gerade Ax + By + C = 0 gilt:
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
Zwei parallele Geraden Ax + By + C₁ = 0 und Ax + By + C₂ = 0 haben einen festen Abstand: d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²). Achte darauf, dass A und B in beiden Gleichungen gleich sind, bevor du die Formel benutzt.
Wichtige Formeln und Definitionen
- m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ
- Parallel: m₁ = m₂; Senkrecht: m₁m₂ = −1
- tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
- y − y₁ = m(x − x₁)
- y = mx + c
- y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁)
- x/a + y/b = 1
- d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
- d (parallele Geraden) = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)
Gelöste Beispiele
1. Bestimme die Steigung der Geraden durch (2, −3) und (6, 5) und den Winkel, den sie mit der x-Achse bildet.
Schritt 1: m = (5 − (−3))/(6 − 2) = 8/4 = 2. Schritt 2: tan θ = 2, also θ = tan⁻¹ 2 ≈ 63.4°.
2. Zeige, dass A(1, 2), B(3, 6) und C(4, 8) kollinear sind.
Schritt 1: Steigung AB = (6 − 2)/(3 − 1) = 2. Schritt 2: Steigung BC = (8 − 6)/(4 − 3) = 2. Schritt 3: Die Steigungen sind gleich und B ist gemeinsamer Punkt, also liegen A, B, C auf einer Geraden.
3. Bestimme die Gleichung der Geraden durch (−1, 4) mit der Steigung −3.
Schritt 1: Punkt-Steigungs-Form y − 4 = −3(x + 1). Schritt 2: y − 4 = −3x − 3. Schritt 3: y = −3x + 1 oder 3x + y − 1 = 0.
4. Bestimme die Gleichung der Geraden durch (1, −1) und (3, 5).
Schritt 1: m = (5 + 1)/(3 − 1) = 3. Schritt 2: y + 1 = 3(x − 1). Schritt 3: y = 3x − 4 oder 3x − y − 4 = 0.
5. Eine Gerade schneidet die x-Achse bei 6 und die y-Achse bei −4. Bestimme ihre Gleichung.
Schritt 1: Achsenabschnittsform x/6 + y/(−4) = 1. Schritt 2: Mit 12 multiplizieren: 2x − 3y = 12. Schritt 3: 2x − 3y − 12 = 0.
6. Bestimme den spitzen Winkel zwischen y = 2x + 1 und y = −3x + 5.
Schritt 1: m₁ = 2, m₂ = −3. Schritt 2: tan θ = |(−3 − 2)/(1 + 2(−3))| = |−5/−5| = 1. Schritt 3: θ = 45°.
7. Bestimme den Abstand des Punktes (2, 3) von der Geraden 5x − 12y + 7 = 0.
Schritt 1: d = |5(2) − 12(3) + 7| / √(25 + 144). Schritt 2: = |10 − 36 + 7| / 13 = |−19| / 13. Schritt 3: d = 19/13 ≈ 1.46 Einheiten.
8. Bestimme den Abstand der parallelen Geraden 3x − 4y + 7 = 0 und 6x − 8y − 1 = 0.
Schritt 1: A und B angleichen: die zweite Gleichung durch 2 teilen → 3x − 4y − 1/2 = 0. Schritt 2: d = |7 − (−1/2)| / √(9 + 16) = (15/2)/5. Schritt 3: d = 3/2 = 1.5 Einheiten.
9. Bestimme die Gleichung der Geraden durch (2, 3), die senkrecht auf 4x − 3y + 5 = 0 steht.
Schritt 1: Steigung der gegebenen Geraden = −A/B = 4/3. Schritt 2: Steigung der senkrechten Geraden = −3/4. Schritt 3: y − 3 = −3/4 (x − 2) → 4y − 12 = −3x + 6 → 3x + 4y − 18 = 0.
Häufige Fehler
- Die Steigung als Schritt ÷ Anstieg schreiben. Sie ist immer (Änderung von y) ÷ (Änderung von x).
- Die Reihenfolge vertauschen: (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂). Nimm beide Differenzen in derselben Reihenfolge.
- |C₁ − C₂| für parallele Geraden benutzen, ohne vorher A und B in beiden Gleichungen gleich zu machen.
- Den Betrag in der Abstandsformel vergessen und einen negativen Abstand erhalten.