Pente d'une droite
La pente (ou gradient) dit à quel point une droite est raide. Marche le long de la droite d'un point à un autre. La variation de y est la montée. La variation de x est l'avance.
m = montée ÷ avance = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Si la droite fait un angle θ avec l'axe des x positif, alors m = tan θ (θ ≠ 90°).
- Droite qui monte vers la droite : m > 0. Qui descend : m < 0.
- Droite plate (parallèle à l'axe des x) : m = 0.
- Droite debout (parallèle à l'axe des y) : la pente n'est pas définie.
Parallèles, perpendiculaires et points alignés
Deux droites sont parallèles quand leurs pentes sont égales : m₁ = m₂. Elles sont perpendiculaires quand m₁ × m₂ = −1 (aucune des deux n'est verticale). Trois points A, B, C sont sur une même droite (alignés) quand pente AB = pente BC.
Angle entre deux droites
Deux droites qui se croisent forment deux angles dont la somme est 180°. Si les pentes sont m₁ et m₂ et que 1 + m₁m₂ ≠ 0, l'angle aigu θ se trouve avec
tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
L'autre angle vaut 180° − θ. Si 1 + m₁m₂ = 0, les droites sont perpendiculaires (θ = 90°).
Formes de l'équation d'une droite
L'équation d'une droite est une règle que tous les points de la droite respectent, et aucun autre point.
- Parallèle à l'axe des x : y = b. Parallèle à l'axe des y : x = a. (L'axe des x lui-même est y = 0.)
- Forme point-pente : y − y₁ = m(x − x₁), passant par (x₁, y₁) avec la pente m.
- Forme pente-ordonnée à l'origine : y = mx + c, où c est l'ordonnée à l'origine. (Si l'abscisse à l'origine est d, alors y = m(x − d).)
- Forme à deux points : y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁).
- Forme par les intercepts : x/a + y/b = 1, la droite coupe l'axe des x en a et l'axe des y en b.
Toute droite peut s'écrire Ax + By + C = 0 (forme générale). Sa pente est −A/B et son ordonnée à l'origine est −C/B.
Distance d'un point à une droite
Le plus court chemin d'un point à une droite est la perpendiculaire. Pour le point P(x₁, y₁) et la droite Ax + By + C = 0 :
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
Deux droites parallèles Ax + By + C₁ = 0 et Ax + By + C₂ = 0 sont à une distance fixe l'une de l'autre : d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²). Vérifie que A et B sont les mêmes dans les deux équations avant d'utiliser la formule.
Formules et définitions clés
- m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ
- Parallèles : m₁ = m₂ ; Perpendiculaires : m₁m₂ = −1
- tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
- y − y₁ = m(x − x₁)
- y = mx + c
- y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁)
- x/a + y/b = 1
- d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
- d (droites parallèles) = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)
Exemples résolus
1. Trouve la pente de la droite passant par (2, −3) et (6, 5), puis l'angle qu'elle fait avec l'axe des x.
Étape 1 : m = (5 − (−3))/(6 − 2) = 8/4 = 2. Étape 2 : tan θ = 2, donc θ = tan⁻¹ 2 ≈ 63.4°.
2. Montre que A(1, 2), B(3, 6) et C(4, 8) sont alignés.
Étape 1 : pente AB = (6 − 2)/(3 − 1) = 2. Étape 2 : pente BC = (8 − 6)/(4 − 3) = 2. Étape 3 : les pentes sont égales et B est commun, donc A, B, C sont sur une même droite.
3. Trouve l'équation de la droite passant par (−1, 4) de pente −3.
Étape 1 : forme point-pente y − 4 = −3(x + 1). Étape 2 : y − 4 = −3x − 3. Étape 3 : y = −3x + 1, ou 3x + y − 1 = 0.
4. Trouve l'équation de la droite passant par (1, −1) et (3, 5).
Étape 1 : m = (5 + 1)/(3 − 1) = 3. Étape 2 : y + 1 = 3(x − 1). Étape 3 : y = 3x − 4, ou 3x − y − 4 = 0.
5. Une droite coupe les axes des x et des y en 6 et −4. Trouve son équation.
Étape 1 : forme par les intercepts x/6 + y/(−4) = 1. Étape 2 : multiplie par 12 : 2x − 3y = 12. Étape 3 : 2x − 3y − 12 = 0.
6. Trouve l'angle aigu entre y = 2x + 1 et y = −3x + 5.
Étape 1 : m₁ = 2, m₂ = −3. Étape 2 : tan θ = |(−3 − 2)/(1 + 2(−3))| = |−5/−5| = 1. Étape 3 : θ = 45°.
7. Trouve la distance de (2, 3) à la droite 5x − 12y + 7 = 0.
Étape 1 : d = |5(2) − 12(3) + 7| / √(25 + 144). Étape 2 : = |10 − 36 + 7| / 13 = |−19| / 13. Étape 3 : d = 19/13 ≈ 1.46 unités.
8. Trouve la distance entre les droites parallèles 3x − 4y + 7 = 0 et 6x − 8y − 1 = 0.
Étape 1 : rends A et B égaux : divise la seconde par 2 → 3x − 4y − 1/2 = 0. Étape 2 : d = |7 − (−1/2)| / √(9 + 16) = (15/2)/5. Étape 3 : d = 3/2 = 1.5 unités.
9. Trouve l'équation de la droite passant par (2, 3) et perpendiculaire à 4x − 3y + 5 = 0.
Étape 1 : pente de la droite donnée = −A/B = 4/3. Étape 2 : pente perpendiculaire = −3/4. Étape 3 : y − 3 = −3/4 (x − 2) → 4y − 12 = −3x + 6 → 3x + 4y − 18 = 0.
Erreurs fréquentes
- Écrire la pente comme avance ÷ montée. C'est toujours (variation de y) ÷ (variation de x).
- Mélanger l'ordre : (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂). Prends les deux différences dans le même ordre.
- Utiliser |C₁ − C₂| pour des droites parallèles sans avoir d'abord rendu A et B identiques dans les deux équations.
- Oublier la valeur absolue dans la formule de distance et trouver une distance négative.