Pendiente de una recta
La pendiente dice qué tan inclinada está una recta. Camina por la recta de un punto a otro. El cambio en y es la subida. El cambio en x es el avance.
m = subida ÷ avance = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Si la recta forma un ángulo θ con el eje x positivo, entonces m = tan θ (θ ≠ 90°).
- Recta que sube hacia la derecha: m > 0. Que baja: m < 0.
- Recta plana (paralela al eje x): m = 0.
- Recta de pie (paralela al eje y): la pendiente no está definida.
Paralelas, perpendiculares y puntos alineados
Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales: m₁ = m₂. Son perpendiculares cuando m₁ × m₂ = −1 (ninguna vertical). Tres puntos A, B, C están sobre una misma recta (son colineales) cuando la pendiente de AB es igual a la pendiente de BC.
Ángulo entre dos rectas
Dos rectas que se cruzan forman dos ángulos que suman 180°. Si las pendientes son m₁ y m₂ y 1 + m₁m₂ ≠ 0, el ángulo agudo θ se obtiene con
tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
El otro ángulo es 180° − θ. Si 1 + m₁m₂ = 0, las rectas son perpendiculares (θ = 90°).
Formas de la ecuación de una recta
La ecuación de una recta es una regla que cumplen todos los puntos de la recta y ningún otro punto.
- Paralela al eje x: y = b. Paralela al eje y: x = a. (El propio eje x es y = 0.)
- Forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁), pasa por (x₁, y₁) con pendiente m.
- Forma explícita: y = mx + c, donde c es la ordenada al origen (el corte con el eje y). (Si el corte con el eje x es d, entonces y = m(x − d).)
- Forma por dos puntos: y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁).
- Forma segmentaria: x/a + y/b = 1, corta a en el eje x y b en el eje y.
Toda recta se puede escribir como Ax + By + C = 0 (forma general). Su pendiente es −A/B y su corte con el eje y es −C/B.
Distancia de un punto a una recta
El camino más corto de un punto a una recta es la perpendicular. Para el punto P(x₁, y₁) y la recta Ax + By + C = 0:
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
Dos rectas paralelas Ax + By + C₁ = 0 y Ax + By + C₂ = 0 están a una distancia fija: d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²). Antes de usarla, asegúrate de que A y B sean iguales en las dos rectas.
Fórmulas y definiciones clave
- m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ
- Paralelas: m₁ = m₂; Perpendiculares: m₁m₂ = −1
- tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
- y − y₁ = m(x − x₁)
- y = mx + c
- y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁)
- x/a + y/b = 1
- d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
- d (rectas paralelas) = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)
Ejemplos resueltos
1. Halla la pendiente de la recta que pasa por (2, −3) y (6, 5), y el ángulo que forma con el eje x.
Paso 1: m = (5 − (−3))/(6 − 2) = 8/4 = 2. Paso 2: tan θ = 2, así que θ = tan⁻¹ 2 ≈ 63.4°.
2. Demuestra que A(1, 2), B(3, 6) y C(4, 8) son colineales.
Paso 1: pendiente AB = (6 − 2)/(3 − 1) = 2. Paso 2: pendiente BC = (8 − 6)/(4 − 3) = 2. Paso 3: las pendientes son iguales y B es un punto común, así que A, B y C están en una misma recta.
3. Halla la ecuación de la recta que pasa por (−1, 4) con pendiente −3.
Paso 1: forma punto-pendiente y − 4 = −3(x + 1). Paso 2: y − 4 = −3x − 3. Paso 3: y = −3x + 1, o 3x + y − 1 = 0.
4. Halla la ecuación de la recta que pasa por (1, −1) y (3, 5).
Paso 1: m = (5 + 1)/(3 − 1) = 3. Paso 2: y + 1 = 3(x − 1). Paso 3: y = 3x − 4, o 3x − y − 4 = 0.
5. Una recta corta los ejes x e y en 6 y −4. Halla su ecuación.
Paso 1: forma segmentaria x/6 + y/(−4) = 1. Paso 2: multiplica por 12: 2x − 3y = 12. Paso 3: 2x − 3y − 12 = 0.
6. Halla el ángulo agudo entre y = 2x + 1 y y = −3x + 5.
Paso 1: m₁ = 2, m₂ = −3. Paso 2: tan θ = |(−3 − 2)/(1 + 2(−3))| = |−5/−5| = 1. Paso 3: θ = 45°.
7. Halla la distancia de (2, 3) a la recta 5x − 12y + 7 = 0.
Paso 1: d = |5(2) − 12(3) + 7| / √(25 + 144). Paso 2: = |10 − 36 + 7| / 13 = |−19| / 13. Paso 3: d = 19/13 ≈ 1.46 unidades.
8. Halla la distancia entre las rectas paralelas 3x − 4y + 7 = 0 y 6x − 8y − 1 = 0.
Paso 1: iguala A y B: divide la segunda entre 2 → 3x − 4y − 1/2 = 0. Paso 2: d = |7 − (−1/2)| / √(9 + 16) = (15/2)/5. Paso 3: d = 3/2 = 1.5 unidades.
9. Halla la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y es perpendicular a 4x − 3y + 5 = 0.
Paso 1: pendiente de la recta dada = −A/B = 4/3. Paso 2: pendiente perpendicular = −3/4. Paso 3: y − 3 = −3/4 (x − 2) → 4y − 12 = −3x + 6 → 3x + 4y − 18 = 0.
Errores comunes
- Escribir la pendiente como avance ÷ subida. Siempre es (cambio en y) ÷ (cambio en x).
- Mezclar el orden: (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂). Resta las dos diferencias en el mismo orden.
- Usar |C₁ − C₂| para rectas paralelas sin antes igualar A y B en las dos ecuaciones.
- Olvidar el valor absoluto en la fórmula de distancia y obtener una distancia negativa.