Aulas de Maths

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• Aplicações das Derivadas – A derivada mede com que rapidez uma grandeza muda em relação a outra. O sinal dela diz se a função sobe (f′ > 0, crescente) ou desce (f′ < 0, decrescente). Onde f′ = 0 a tangente é horizontal: esses pontos críticos podem ser um máximo ou um mínimo local, que descobrimos pelo teste da primeira derivada (mudança de sinal) ou pelo teste da segunda derivada (sinal de f″). Assim resolvemos problemas reais, como a maior caixa ou o tanque mais barato.
• Cônicas: Círculo, Parábola, Elipse e Hipérbole – Cortar um cone duplo com um plano dá uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole; um corte que passa pelo vértice dá um ponto, uma reta ou um par de retas (cônicas degeneradas). Circunferência: (x − h)² + (y − k)² = r². Parábola y² = 4ax: foco (a, 0), diretriz x = −a, latus rectum 4a, e = 1. Elipse x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): c² = a² − b², focos (±c, 0), e = c/a < 1, latus rectum 2b²/a, PF₁ + PF₂ = 2a. Hipérbole x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1, latus rectum 2b²/a, |PF₁ − PF₂| = 2a.
• Explorando as Identidades Algébricas – Uma identidade é uma igualdade que vale para qualquer valor das letras. Figuras ajudam a provar: um quadrado de lado (a + b) se divide em a², ab, ab e b², então (a + b)² = a² + 2ab + b². Do mesmo jeito chegamos a (a − b)², a² − b² = (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (a + b + c)² e (a + b)³. Lidas de trás para frente, as identidades ajudam a fatorar, a calcular rápido e a simplificar frações algébricas.
• Geometria Analítica: Distância e Divisão de Segmento – Todo ponto de um plano tem um endereço (x, y). A distância entre A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) é d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; é só Pitágoras aplicado à diferença em x e à diferença em y. Um ponto P que divide o segmento AB, por dentro, na razão m : n é P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)). Quando m = n, P é o ponto médio.
• Números Complexos e Equações do 2º Grau – Algumas equações, como x² + 1 = 0, não têm resposta real, porque nenhum número real elevado ao quadrado dá negativo. Então criamos um novo número i com i² = −1. Um número complexo é z = a + ib: a é a parte real e b é a parte imaginária. Somamos, subtraímos e multiplicamos números complexos como na álgebra comum, trocando i² por −1. Para dividir, multiplicamos em cima e embaixo pelo conjugado. No plano de Argand, z = a + ib é o ponto (a, b). O conjugado a − ib é o reflexo dele no eixo real, e o módulo √(a² + b²) é a distância até a origem. Toda equação ax² + bx + c = 0 com D = b² − 4ac < 0 tem duas raízes complexas, uma conjugada da outra.
• Probabilidade Condicional, Regra do Produto e Eventos Independentes – Probabilidade condicional é a chance de A acontecer quando já sabemos que B aconteceu. Jogamos fora todos os resultados que estão fora de B e contamos de novo: P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B). Virando a fórmula, temos a regra do produto: P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B). Se saber de B não muda a chance de A, os eventos são independentes e P(A ∩ B) = P(A)·P(B).