Por que precisamos dos números complexos?
Eleve qualquer número real ao quadrado: 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0. O resultado nunca é negativo. Por isso x² = −1, ou x² + 1 = 0, não tem solução real.
Os matemáticos resolveram isso acrescentando um número novo, chamado unidade imaginária e escrito i, com i² = −1. Assim, √(−1) = i e √(−9) = √9 · i = 3i.
Um número complexo é qualquer número z = a + ib, com a e b reais. Chamamos a de parte real, Re(z), e b de parte imaginária, Im(z). Os números reais são complexos com b = 0, então nada do que já conhecíamos se perde. Veja o passo 1 do 3D: i é um quarto de volta do 1.
Potências de i
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Depois disso o padrão se repete. Para achar iⁿ, divida n por 4 e use o resto: i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i. Exemplo: i¹⁰² → 102 = 4 × 25 + 2, então i¹⁰² = −1.
Cuidado: √a · √b = √(ab) só vale quando a e b não são ambos negativos. Por exemplo, √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6, e não √36 = 6.
Álgebra dos números complexos
- Igualdade: a + ib = c + id somente quando a = c e b = d.
- Adição: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). É fechada, comutativa e associativa; 0 é o elemento neutro e −z é o oposto.
- Subtração: (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
- Multiplicação: multiplique como parênteses e troque i² por −1: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). Também é comutativa, associativa e distributiva em relação à soma; 1 é o elemento neutro.
- Inverso multiplicativo: para z = a + ib ≠ 0, z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²).
- Divisão: z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. Na prática, multiplique em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.
Produtos notáveis como (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² continuam valendo para números complexos.
Conjugado e módulo
O conjugado de z = a + ib é z̄ = a − ib (troque o sinal da parte imaginária). O módulo é |z| = √(a² + b²). Fatos úteis: z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
Não existe "maior" ou "menor" entre dois números complexos não reais: 2 + i > 1 + 3i não faz sentido. Só dá para comparar os módulos.
O plano de Argand
Desenhe dois eixos perpendiculares. O horizontal é o eixo real e o vertical é o eixo imaginário. O número z = a + ib é o ponto (a, b). Esse desenho se chama plano de Argand (ou plano complexo).
- Números reais (como 4) ficam no eixo real; números imaginários puros (como 3i) ficam no eixo imaginário.
- |z| é a distância do ponto até a origem O, por Pitágoras (passo 5 do 3D).
- z̄ é o reflexo de z no eixo real.
- z₁ + z₂ é o quarto vértice do paralelogramo formado por O, z₁ e z₂ (passo 3).
- Multiplicar por i gira o ponto 90° no sentido anti-horário em torno de O (passo 4).
Equações do 2º grau com raízes complexas
Para ax² + bx + c = 0 (a, b, c reais), as raízes são x = (−b ± √D)/2a, com D = b² − 4ac.
- D > 0: duas raízes reais diferentes. D = 0: duas raízes reais iguais.
- D < 0: √D = i√(−D), então as raízes são x = (−b ± i√(−D))/2a. Elas são complexas e sempre formam um par de conjugados.
Exemplo: x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Teste na brincadeira livre.
Foco na prova
A álgebra vale cerca de 25 pontos na prova da Classe 11. Deste capítulo, espere: potências de i (1 ponto), escrever um quociente na forma a + ib (2 a 3 pontos), módulo, conjugado e inverso (2 pontos) e resolver equações do 2º grau com D < 0 (2 a 3 pontos). Dê sempre a resposta final na forma a + ib.
Fórmulas e definições principais
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
Exemplos resolvidos
1. Calcule i⁵⁷ e i⁻³.
57 = 4 × 14 + 1, então i⁵⁷ = i¹ = i. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i. Multiplique em cima e embaixo por i: −i/i² = −i/(−1) = i. Logo i⁻³ = i.
2. Simplifique (5 − 3i) + (−2 + 7i) e (5 − 3i) − (−2 + 7i).
Soma: parte real 5 + (−2) = 3, parte imaginária −3 + 7 = 4, então 3 + 4i. Diferença: parte real 5 − (−2) = 7, parte imaginária −3 − 7 = −10, então 7 − 10i.
3. Multiplique (2 + 3i)(4 − i).
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². Troque i² por −1: 8 + 3 + 10i = 11 + 10i.
4. Encontre o módulo, o conjugado e o inverso multiplicativo de z = 3 − 4i.
|z| = √(9 + 16) = 5. z̄ = 3 + 4i. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i. Conferindo: (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. Escreva (1 + 2i)/(3 − i) na forma a + ib.
Multiplique em cima e embaixo por 3 + i. Denominador: 9 + 1 = 10. Numerador: (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. Resposta: 1/10 + (7/10)i.
6. Resolva 2x² − 2x + 1 = 0.
a = 2, b = −2, c = 1. D = 4 − 8 = −4 < 0, então √D = 2i. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i. As raízes 1/2 + i/2 e 1/2 − i/2 são conjugadas.
7. Encontre x e y reais se (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i.
Números complexos iguais têm partes iguais: x + 2y = 5 e 2x − y = 5. Da segunda, y = 2x − 5. Então x + 4x − 10 = 5, logo x = 3 e y = 1.
8. Se (a + ib)/(c + id) = x + iy, mostre que (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y².
Tire o módulo dos dois lados: |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. Então √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²). Elevando os dois lados ao quadrado, chegamos ao resultado.
Erros comuns
- Escrever i² = 1. O correto é i² = −1; esse é o motivo de o i existir.
- Usar √(−4)·√(−9) = √36 = 6. Quando os dois números são negativos, escreva primeiro 2i · 3i = 6i² = −6.
- Dividir direto por um número complexo. Sempre multiplique em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.
- Dizer que 3 + 2i > 1 + i. Números complexos não reais não podem ser ordenados; compare os módulos.