Todo ponto tem um endereço: (x, y)
Desenhe duas retas numéricas que se cruzam em ângulo reto. A deitada é o eixo x. A em pé é o eixo y. Elas se encontram na origem O(0, 0).
Todo ponto tem dois números. O primeiro (x, chamado de abscissa) diz quanto andar para a direita ou para a esquerda. O segundo (y, chamado de ordenada) diz quanto andar para cima ou para baixo. Assim, (3, 2) significa 3 para a direita e depois 2 para cima.
Fórmula da distância
Pegue A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂). Ande de A em linha reta até ficar embaixo de B. Esse trecho é a diferença em x, x₂ − x₁. Depois suba em linha reta até B. Esse trecho é a diferença em y, y₂ − y₁. Os dois trechos formam um ângulo reto, então AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo.
Por Pitágoras: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
Uma diferença negativa não atrapalha, porque o quadrado a deixa positiva. A distância de P(x, y) até a origem é √(x² + y²).
Como usar a fórmula da distância
- Verificar se estão alinhados: três pontos estão numa mesma reta se as duas distâncias menores somam a maior.
- Tipo de triângulo: ache os três lados. Lados iguais indicam triângulo isósceles ou equilátero; se a² + b² = c², ele é retângulo.
- Ponto equidistante: se P está à mesma distância de A e de B, escreva PA = PB, eleve os dois lados ao quadrado e resolva.
Fórmula da divisão de segmento (divisão interna)
Um ponto P está no segmento AB, entre A e B. Se AP : PB = m : n, dizemos que P divide AB internamente na razão m : n.
Pense em AB cortado em m + n pedaços iguais. P está a m pedaços de A. Então P anda m/(m + n) do caminho de A até B. Isso dá
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
Por que funciona: desenhe pequenos triângulos retângulos embaixo de AP e de PB. Eles têm os mesmos ângulos, então são semelhantes, e suas diferenças estão na razão m : n. (Veja Triângulos semelhantes.)
Fórmula do ponto médio
Se m = n, P é o ponto médio: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Basta tirar a média dos x e a média dos y.
Como achar a razão
Se a razão não é conhecida, chame-a de k : 1. Coloque na fórmula, compare com o x (ou y) dado e resolva para k. Para achar onde o eixo x corta AB, faça y = 0.
Pontos de trissecção
Dois pontos cortam AB em três partes iguais. Eles dividem AB nas razões 1 : 2 e 2 : 1.
Experimente você mesmo (prática)
Em casa: Cole duas fitas num piso de azulejos para fazer os eixos x e y. Fique no azulejo (1, 1). Coloque um chinelo no azulejo (4, 5). Conte 3 azulejos para o lado e 4 para cima. Agora estique um barbante reto de você até o chinelo e meça em larguras de azulejo: dá 5. Você acabou de testar a fórmula da distância.
No 3D: vá até o último passo. Coloque B em (7, 1) e m : n em 1 : 1. Preveja P antes de olhar. (Resposta: (4, 1), o ponto médio.)
Fórmulas e definições principais
- Distância AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- Distância até a origem = √(x² + y²)
- Divisão de segmento (m : n, interna): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- Ponto médio = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Razão desconhecida: use k : 1 e resolva para k
Exemplos resolvidos
1. Ache a distância entre A(1, 1) e B(4, 5).
Diferença em x = 4 − 1 = 3. Diferença em y = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 unidades.
2. Ache a distância do ponto P(−6, 8) até a origem.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 unidades.
3. Ache o ponto médio de A(2, −3) e B(6, 7).
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. Ponto médio = (4, 2).
4. Ache o ponto que divide internamente A(1, 1) e B(7, 4) na razão 2 : 1.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. Os pontos A(1, 2), B(3, 6) e C(4, 8) estão na mesma reta?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. Então sim, eles são colineares.
6. Ache o ponto do eixo x que está à mesma distância de A(2, −5) e de B(−2, 9).
O ponto é P(x, 0). PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, então x = −7. P = (−7, 0).
7. Em que razão o ponto (−1, 6) divide o segmento que une A(−3, 10) e B(6, −8)?
Tome a razão k : 1. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. Então 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. Razão = 2 : 7. Confira y: (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. Ache os pontos de trissecção do segmento que une A(2, −2) e B(−7, 4).
P divide AB na razão 1 : 2: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q divide AB na razão 2 : 1: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
Erros comuns
- Esquecer a raiz quadrada no final: √25 = 5, não 25.
- Trocar m e n na fórmula de divisão de segmento. m vai com o segundo ponto (x₂) e n com o primeiro ponto (x₁).
- Escrever (x₂ + x₁) em vez de (x₂ − x₁) na fórmula da distância. A distância usa a diferença, então subtraia.
- Elevar ao quadrado uma diferença negativa de forma errada: (−3)² = 9, não −9.