I punti hanno un indirizzo: (x, y)
Disegna due rette numeriche che si incrociano ad angolo retto. Quella orizzontale è l'asse x. Quella verticale è l'asse y. Si incontrano nell'origine O(0, 0).
Ogni punto ha due numeri. Il primo numero (x, chiamato ascissa) dice di quanto andare a destra o a sinistra. Il secondo numero (y, chiamato ordinata) dice di quanto andare su o giù. Quindi (3, 2) significa 3 a destra, poi 2 in su.
Formula della distanza
Prendi A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂). Cammina da A in orizzontale fino a trovarti sotto B. Quel tratto è lo scarto in x, x₂ − x₁. Poi cammina dritto in su fino a B. Quel tratto è lo scarto in y, y₂ − y₁. I due tratti si incontrano ad angolo retto, quindi AB è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Con Pitagora: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
Uno scarto negativo non è un problema, perché elevando al quadrato diventa positivo. La distanza di P(x, y) dall'origine è √(x² + y²).
Come usare la formula della distanza
- Controllo di allineamento: tre punti stanno su una stessa retta se la somma delle due distanze minori è uguale alla distanza maggiore.
- Tipo di triangolo: calcola tutti e tre i lati. Lati uguali indicano un triangolo isoscele o equilatero; se a² + b² = c², il triangolo è rettangolo.
- Punto equidistante: se P è alla stessa distanza da A e da B, scrivi PA = PB, eleva al quadrato entrambi i membri e risolvi.
Formula di divisione (divisione interna)
Un punto P sta sul segmento AB, tra A e B. Se AP : PB = m : n, diciamo che P divide AB internamente nel rapporto m : n.
Immagina AB tagliato in m + n pezzi uguali. P dista m pezzi da A. Quindi P percorre m/(m + n) del tratto da A a B. Si ottiene
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
Perché funziona: disegna due piccoli triangoli rettangoli sotto AP e sotto PB. Hanno gli stessi angoli, quindi sono simili e i loro scarti stanno nel rapporto m : n. (Vedi Triangoli simili.)
Formula del punto medio
Se m = n, P è il punto medio: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Basta fare la media delle x e la media delle y.
Trovare il rapporto
Se il rapporto non è noto, chiamalo k : 1. Mettilo nella formula, confrontalo con la x (o la y) data e risolvi per k. Per trovare dove l'asse x taglia AB, poni y = 0.
Punti di trisezione
Due punti dividono AB in tre parti uguali. Dividono AB nei rapporti 1 : 2 e 2 : 1.
Provalo tu (pratica)
A casa: Attacca due strisce di nastro su un pavimento a piastrelle come assi x e y. Mettiti sulla piastrella (1, 1). Appoggia una pantofola sulla piastrella (4, 5). Conta 3 piastrelle in orizzontale e 4 in verticale. Ora tendi un filo dritto da te alla pantofola e misuralo in larghezze di piastrella: è 5. Hai appena verificato la formula della distanza.
Nel 3D: vai all'ultimo passo. Imposta B a (7, 1) e m : n a 1 : 1. Prevedi P prima di guardare. (Risposta: (4, 1), il punto medio.)
Formule e definizioni chiave
- Distanza AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- Distanza dall'origine = √(x² + y²)
- Formula di divisione (m : n, interna): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- Punto medio = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Rapporto incognito: poni k : 1, poi risolvi per k
Esempi svolti
1. Trova la distanza tra A(1, 1) e B(4, 5).
Scarto in x = 4 − 1 = 3. Scarto in y = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 unità.
2. Trova la distanza del punto P(−6, 8) dall'origine.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 unità.
3. Trova il punto medio di A(2, −3) e B(6, 7).
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. Punto medio = (4, 2).
4. Trova il punto che divide internamente A(1, 1) e B(7, 4) nel rapporto 2 : 1.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. I punti A(1, 2), B(3, 6) e C(4, 8) stanno su una stessa retta?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. Quindi sì, sono allineati.
6. Trova il punto sull'asse x equidistante da A(2, −5) e B(−2, 9).
Il punto è P(x, 0). PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, quindi x = −7. P = (−7, 0).
7. In quale rapporto il punto (−1, 6) divide il segmento che unisce A(−3, 10) e B(6, −8)?
Prendi il rapporto k : 1. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. Quindi 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. Rapporto = 2 : 7. Controllo con y: (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. Trova i punti di trisezione del segmento che unisce A(2, −2) e B(−7, 4).
P divide AB nel rapporto 1 : 2: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q divide AB nel rapporto 2 : 1: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
Errori comuni
- Dimenticare la radice quadrata alla fine: √25 = 5, non 25.
- Scambiare m e n nella formula di divisione. m va con il secondo punto (x₂), n con il primo punto (x₁).
- Scrivere (x₂ + x₁) invece di (x₂ − x₁) nella formula della distanza. La distanza usa lo scarto, quindi si sottrae.
- Elevare male al quadrato uno scarto negativo: (−3)² = 9, non −9.