O que é uma identidade?
Uma equação como 2x + 1 = 7 só é verdadeira para x = 3. Uma identidade é verdadeira para qualquer valor. Exemplo: (x + 1)² = x² + 2x + 1. Teste com x = 5: 36 = 25 + 10 + 1. ✓
Para testar uma identidade, coloque um número qualquer nos dois lados. Para provar, desenvolva os produtos ou faça um desenho.
Vendo identidades como áreas
Área de um retângulo = comprimento × largura. Então um produto de dois parênteses é uma área.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: um quadrado de lado a + b = um a², dois ab e um b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: de a², tire duas tiras a×b. O canto b² foi tirado duas vezes, então some de volta uma vez.
- a² − b² = (a + b)(a − b): recorte b² de um canto de a². Mova uma das partes da forma em L para formar um retângulo (a + b) por (a − b).
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: retângulo de lados x + a e x + b.
Fatoração com identidades e algebra tiles
Fatorar é escrever uma expressão como um produto. Leia a identidade da direita para a esquerda.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (o primeiro e o último termo são quadrados, e o do meio é 2 × x × 5).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: procure dois números com soma 7 e produto 12 → 3 e 4. Então (x + 3)(x + 4).
Algebra tiles (peças de álgebra): pegue um quadrado grande para x², uma tira para cada x e um quadradinho para cada 1. Coloque o x² no canto, as tiras ao longo de dois lados e preencha o canto com as unidades. Se formarem um retângulo perfeito, os lados dele são os fatores.
Descobrindo novas identidades
Podemos criar novas identidades a partir de antigas ou de figuras.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: um quadrado de lado a + b + c tem uma grade 3 × 3 com 9 peças.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: um cubo de lado a + b se divide em 8 blocos.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: troque b por −b.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) e a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Se a + b + c = 0, então a³ + b³ + c³ = 3abc.
Sempre confira uma nova identidade com números, por exemplo a = 2, b = 1.
Simplificando frações algébricas
Uma fração algébrica (expressão racional) é um polinômio dividido por outro, como (x² − 9)/(x + 3). Para simplificar, fatore o numerador e o denominador e depois corte os fatores comuns.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, para x ≠ −3.
Lembre-se: corte só fatores inteiros, nunca termos soltos. E o valor que zera o denominador não é permitido.
Mão na massa: uma atividade prática
Recorte papel: um quadrado de 7 cm (a²), duas tiras de 7 cm × 3 cm (ab) e um quadrado de 3 cm (b²). Junte tudo em um quadrado grande. Meça o lado: 10 cm. Confira 10² = 49 + 42 + 9 = 100. Depois recorte 12 quadradinhos unitários e tiras para fatorar x² + 7x + 12 sozinho.
Cantinho da prova
Questões típicas: desenvolver usando uma identidade; calcular 99³ ou 104 × 96 sem multiplicar direto; fatorar x³ + 27 ou 8a³ − 27b³; usar a + b + c = 0; provar uma identidade com uma figura; simplificar uma fração algébrica.
Fórmulas e definições principais
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Exemplos resolvidos
1. Desenvolva (2x + 3)².
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. Calcule 98² sem multiplicação longa.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. Calcule 104 × 96.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. Fatore x² + 5x + 6 com as peças.
1 x², 5 tiras, 6 unidades. O retângulo tem lados x + 2 e x + 3. Confira: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Então (x + 2)(x + 3).
5. Desenvolva (a + 2b − c)².
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. Fatore 8x³ + 27.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. Se a + b + c = 0, ache a³ + b³ + c³ para a = 5, b = −2, c = −3.
5 − 2 − 3 = 0, então a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. Confira: 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. Simplifique (x² − 4x + 4)/(x² − 4).
Numerador = (x − 2)². Denominador = (x + 2)(x − 2). Corte (x − 2): (x − 2)/(x + 2), para x ≠ 2, −2.
Erros comuns
- Escrever (a + b)² = a² + b². Faltam as duas tiras ab: o termo do meio 2ab é necessário.
- Errar o sinal em (a − b)²: o último termo + b² é sempre positivo.
- Cortar termos em frações: (x + 3)/3 não é x. Corte apenas fatores comuns.
- Esquecer de elevar o coeficiente ao quadrado: (3x)² = 9x², e não 3x².