समकोण त्रिभुज के भाग
समकोण त्रिभुज में एक कोण ठीक 90° का होता है। समकोण के सामने की भुजा कर्ण है। यह हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है। बाकी दो भुजाएँ पाद हैं।
किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। एक कोण 90° का है, इसलिए बाकी दो (न्यून कोण) का योग 90° है। एक 35° का हो तो दूसरा 55° का।
भुजाओं का संबंध पाइथागोरस प्रमेय है: a² + b² = c²। देखो पाइथागोरस प्रमेय।
कर्ण की माध्यिका
माध्यिका एक कोने को सामने की भुजा के मध्य बिंदु से मिलाती है। समकोण त्रिभुज में समकोण O पर है और M कर्ण का मध्य बिंदु है।
नियम: OM = ½ × कर्ण।
क्यों? त्रिभुज की दूसरी कॉपी जोड़कर आयत बनाओ। आयत के दोनों विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को आधा-आधा बाँटते हैं। एक विकर्ण कर्ण है। दूसरा OM का दुगना है। इसलिए OM = कर्ण का आधा। इसका मतलब M तीनों कोनों से बराबर दूरी पर है, इसलिए M को केंद्र मानकर वृत्त तीनों कोनों से गुज़रता है।
उलटा नियम: अगर किसी त्रिभुज की माध्यिका उस भुजा की आधी हो जिस पर वह गिरती है तो सामने वाले कोने का कोण 90° है।
30° का नियम
30° वाले समकोण त्रिभुज में 30° के सामने वाला पाद कर्ण का आधा होता है।
क्यों? त्रिभुज को दूसरे पाद के ऊपर उलट दो। जुड़कर बड़ा त्रिभुज बनता है जिसके सारे कोण 60° हैं, यानी समबाहु है, और उसकी हर भुजा कर्ण के बराबर है। छोटा पाद इस समबाहु त्रिभुज की एक भुजा का आधा है।
उलटा नियम: अगर कोई पाद कर्ण का आधा है तो उसके सामने का कोण 30° है। दूसरा न्यून कोण 60° है।
समकोण त्रिभुजों की सर्वांगसमता
दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं अगर एक ठीक दूसरे पर बैठ जाए। समकोण त्रिभुजों में समकोण पहले से बराबर (90° दोनों) है, इसलिए बस दो और बराबर बातें चाहिए। चार जाँच:
- HL: कर्ण और एक पाद बराबर।
- LL: दोनों पाद बराबर।
- LA: एक पाद और एक न्यून कोण बराबर।
- HA: कर्ण और एक न्यून कोण बराबर।
ध्यान रहे: LA में पाद कोण के पास हो या सामने, दोनों समकोण त्रिभुजों के लिए चलते हैं।
Try it: मोड़ो और काटो
कागज़ से एक आयत काटो। एक विकर्ण खींचकर उस पर काटो: दो समकोण त्रिभुज मिलेंगे जो ठीक एक-दूसरे पर बैठते हैं (सर्वांगसम)। अब पूरे आयत में दोनों विकर्ण खींचो। अनुमान लगाओ: दोनों विकर्णों की तुलना कैसी होगी? स्केल से नापो। वे बराबर हैं और अपने मध्य पर कटते हैं। यही माध्यिका का नियम है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- न्यून कोण: A + B = 90°
- कर्ण की माध्यिका: OM = c / 2
- 30° के सामने का पाद = c / 2
- a² + b² = c²
- सर्वांगसमता: HL, LL, LA, HA
हल किए गए उदाहरण
1. समकोण त्रिभुज का कर्ण 14 सेमी है। उसकी माध्यिका ज्ञात करो।
माध्यिका = कर्ण का आधा = 14 / 2 = 7 सेमी।
2. कर्ण की माध्यिका 6.5 सेमी है। कर्ण ज्ञात करो।
कर्ण = 2 x 6.5 = 13 सेमी।
3. एक न्यून कोण 35° है। दूसरा ज्ञात करो।
दोनों न्यून कोणों का योग 90° है। दूसरा = 90° - 35° = 55°।
4. समकोण त्रिभुज में एक कोण 30° है और कर्ण 18 सेमी। 30° के सामने का पाद ज्ञात करो।
सामने का पाद = कर्ण का आधा = 9 सेमी।
5. 30° के सामने का पाद 8 सेमी है। कर्ण और फिर दूसरा पाद ज्ञात करो।
कर्ण = 2 x 8 = 16 सेमी। दूसरा पाद: 16² - 8² = 256 - 64 = 192, इसलिए पाद = √192 = 8√3 ≈ 13.86 सेमी।
6. कर्ण की माध्यिका 5 सेमी है और एक पाद 6 सेमी। दूसरा पाद ज्ञात करो।
कर्ण = 2 x 5 = 10 सेमी। दूसरा पाद² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64, इसलिए दूसरा पाद = 8 सेमी।
7. त्रिभुज 1 में कर्ण 13 और एक पाद 5 है। त्रिभुज 2 में भी कर्ण 13 और एक पाद 5 है। क्या वे सर्वांगसम हैं? तीसरी भुजा ज्ञात करो।
हाँ, HL से (समकोण, बराबर कर्ण और बराबर पाद)। तीसरी भुजा² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, इसलिए तीसरी भुजा = 12।
आम गलतियाँ
- यह कहना कि माध्यिका किसी भी भुजा की आधी होती है। यह सिर्फ़ समकोण त्रिभुज के कर्ण के लिए है।
- 30° का आधे वाला नियम गलत पाद पर लगाना। यह 30° के सामने वाले पाद का है, पास वाले का नहीं।
- हर त्रिभुज में "SSA" लगाना। HL इसलिए चलता है क्योंकि कोण 90° है।
- ऐसी भुजा को कर्ण कहना जो समकोण के सामने नहीं है।