कोण का समद्विभाजक क्या है?
कोण दो भुजाओं से बनता है जो एक बिंदु से शुरू होती हैं। उस बिंदु को शीर्ष कहते हैं।
समद्विभाजक किसी चीज़ को दो बराबर भागों में बाँटता है। कोण का समद्विभाजक शीर्ष से निकलने वाली वह किरण है जो कोण को बराबर माप के दो कोणों में बाँटती है।
अगर कोण 80° का है तो हर आधा भाग 40° का होगा। अगर कोण 2x है तो हर भाग x होगा।
परकार और पटरी से रचना
चाँदे की ज़रूरत नहीं है। शीर्ष O वाले किसी भी कोण पर ये चरण करो।
- परकार की नोक O पर रखो। एक चाप खींचो जो दोनों भुजाओं को काटे। कटने के बिंदु D और E नाम दो।
- नोक D पर रखकर कोण के अंदर एक छोटा चाप खींचो।
- परकार का खुलाव वही रखो। नोक E पर रखकर दूसरा चाप खींचो जो पहले को काटे। कटान बिंदु C है।
- पटरी से O को C से मिलाओ। किरण OC कोण का समद्विभाजक है।
यह क्यों काम करता है? OD = OE (एक ही त्रिज्या), DC = EC (एक ही खुलाव), और OC उभयनिष्ठ है। इसलिए त्रिभुज ODC और OEC तीनों भुजाओं में बराबर हैं, और O पर उनके कोण बराबर हैं।
बराबर दूरी का गुण
किसी बिंदु से रेखा की दूरी का मतलब सबसे छोटी दूरी है, यानी 90° पर खींचा गया लम्ब।
गुण: कोण के समद्विभाजक पर स्थित हर बिंदु कोण की दोनों भुजाओं से बराबर दूर होता है।
प्रमाण। मान लो P कोण AOB के समद्विभाजक पर है। PD ⟂ OA और PE ⟂ OB खींचो। त्रिभुज ODP और OEP में: कोण POD = कोण POE (समद्विभाजक), कोण ODP = कोण OEP = 90°, और OP उभयनिष्ठ है। AAS से दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए PD = PE।
विलोम: बराबर दूरी हो तो बिंदु समद्विभाजक पर है
विलोम बात को उलट देता है: कोण के अंदर का जो बिंदु दोनों भुजाओं से बराबर दूर हो, वह समद्विभाजक पर होता है।
प्रमाण। PD ⟂ OA, PE ⟂ OB और PD = PE लो। समकोण त्रिभुज ODP और OEP में कर्ण OP उभयनिष्ठ है और PD = PE है। RHS से दोनों सर्वांगसम हैं, इसलिए कोण POD = कोण POE। अतः OP कोण को समद्विभाजित करता है।
इसलिए समद्विभाजक उन सभी बिंदुओं का समूह है जो दोनों भुजाओं से बराबर दूर हैं। इसे बिंदुपथ (locus) कहते हैं (देखें बिंदुपथ)।
करके देखो: मोड़ो और जाँचो
कागज़ पर एक कोण बनाकर काट लो। एक भुजा को ठीक दूसरी भुजा पर मोड़ो। मोड़ की रेखा समद्विभाजक है। उस रेखा पर कोई भी बिंदु लगाओ और सेट स्क्वेयर से दोनों भुजाओं से उसकी दूरी नापो। दोनों बराबर आएँगी! फिर रेखा से हटकर बिंदु लगाओ और नापो: दूरियाँ अलग होंगी।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- 2x के कोण का समद्विभाजक x और x के दो कोण बनाता है
- समद्विभाजक पर बिंदु P: PD = PE (दोनों भुजाओं से दूरी)
- विलोम: कोण के अंदर PD = PE हो तो P समद्विभाजक पर है
- शीर्ष से d दूरी पर समद्विभाजक के बिंदु की भुजा से दूरी: PD = d × sin(θ/2)
हल किए गए उदाहरण
1. एक कोण 80° का है। समद्विभाजित करने पर हर भाग कितना होगा?
80° ÷ 2 = 40°। हर भाग 40° का है।
2. बिंदु P कोण AOB के समद्विभाजक पर है। भुजा OA से उसकी दूरी 5 सेमी है। OB से उसकी दूरी कितनी है?
P समद्विभाजक पर है, इसलिए दोनों दूरियाँ बराबर हैं। OB से दूरी = 5 सेमी।
3. एक बिंदु कोण की एक भुजा से 4 सेमी और दूसरी से भी 4 सेमी दूर है। वह कहाँ है?
दोनों भुजाओं से बराबर दूरी है, इसलिए विलोम के अनुसार वह कोण के समद्विभाजक पर है।
4. कोण ABC = 64° है और BD उसका समद्विभाजक है। कोण ABD और कोण DBC ज्ञात करो।
हर भाग = 64° ÷ 2 = 32°। इसलिए कोण ABD = 32° और कोण DBC = 32°।
5. कोण AOB = 100° में किरण OC समद्विभाजक है और कोण AOC = 2x + 10 है। x ज्ञात करो।
100° का आधा 50° है। 2x + 10 = 50, 2x = 40, x = 20।
6. त्रिभुज के कोण A का समद्विभाजक AD है। D की AB से दूरी 3 सेमी है। AB = 10 सेमी और AC = 8 सेमी। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल (ABD और ACD के योग से) ज्ञात करो।
D समद्विभाजक पर है, इसलिए AC से भी उसकी दूरी 3 सेमी है। क्षेत्रफल ABD = ½ × 10 × 3 = 15 सेमी²। क्षेत्रफल ACD = ½ × 8 × 3 = 12 सेमी²। कुल = 27 सेमी²।
7. दो सीधी सड़कें 60° पर मिलती हैं। चौराहे से 10 मी दूर समद्विभाजक पर एक लैंप लगा है। वह हर सड़क से कितनी दूर है?
आधा कोण = 30°। दूरी = 10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 मी हर सड़क से।
आम गलतियाँ
- तिरछी रेखा से दूरी नापना। रेखा से दूरी हमेशा 90° वाली (सबसे छोटी) रेखा से नापते हैं।
- रचना में दोनों चापों के लिए अलग-अलग परकार का खुलाव लेना। कटने वाले चापों में खुलाव वही रखो।
- त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक को सामने की भुजा को आधा करने वाली रेखा समझना। वह माध्यिका है। समद्विभाजक कोण को आधा करता है।
- कोण के बाहर के बिंदु पर विलोम लगाना। यह कथन कोण के अंदर के बिंदु के लिए है।