Was ist eine Welle? Transversal- und Longitudinalwellen
Eine Welle ist eine Störung, die sich durch ein Medium bewegt und Energie transportiert, während jedes Teilchen des Mediums nur ein kleines Stück um seinen eigenen Platz schwingt.
- Transversalwelle: Die Teilchen bewegen sich quer zur Ausbreitungsrichtung. Sie hat Wellenberge (oben) und Wellentäler (unten). Beispiele: eine Welle auf einem Seil, Wasserwellen (annähernd), Licht.
- Longitudinalwelle: Die Teilchen bewegen sich in Ausbreitungsrichtung. Sie hat Verdichtungen (dicht, hoher Druck) und Verdünnungen (locker, niedriger Druck). Beispiel: Schall in Luft.
Transversale mechanische Wellen brauchen ein Medium, das sich gegen Formänderung wehrt. Deshalb laufen sie in Festkörpern und auf Seilen, nicht aber im Inneren eines Gases. Longitudinalwellen können sich in Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen ausbreiten.
Eine fortschreitende (laufende) Welle bewegt sich immer weiter vorwärts und nimmt dabei Energie mit.
Wellenlänge, Frequenz und Wellengeschwindigkeit
- Wellenlänge λ: Abstand zwischen zwei nächsten Punkten gleicher Phase, zum Beispiel von Berg zu Berg.
- Frequenz f: Anzahl der Wellen, die pro Sekunde an einem Punkt vorbeikommen (= Frequenz der Quelle).
- Periode T = 1/f.
In einer Periode rückt die Welle genau um eine Wellenlänge vor, also gilt v = λ/T = fλ.
Die Geschwindigkeit hängt vom Medium ab
- Seil mit Spannkraft T und Masse pro Länge μ: v = √(T/μ).
- Schall in einem festen Stab: v = √(Y/ρ); in einer Flüssigkeit oder einem Gas: v = √(B/ρ). Dabei sind Y und B Elastizitätsmodule und ρ ist die Dichte.
- Schall im Gas: Newton nahm an, die Änderung sei isotherm, v = √(P/ρ) ≈ 280 m/s für Luft, was zu niedrig ist. Laplace-Korrektur: Das Zusammendrücken geht so schnell, dass keine Wärme abfließen kann (adiabatisch), also v = √(γP/ρ) ≈ 331 m/s bei 0 °C (γ = 1,4 für Luft).
- Die Schallgeschwindigkeit steigt mit der Temperatur (v ∝ √T in Kelvin) und ändert sich bei fester Temperatur nicht mit dem Druck. In feuchter Luft läuft Schall etwas schneller.
Die Auslenkung einer fortschreitenden Welle
Für eine Welle in +x-Richtung ist die Auslenkung des Teilchens am Ort x zur Zeit t
y(x, t) = A sin(kx − ωt + φ)
- A = Amplitude, die größte Auslenkung eines Teilchens.
- k = 2π/λ = Kreiswellenzahl (rad/m).
- ω = 2π/T = 2πf = Kreisfrequenz (rad/s).
- (kx − ωt + φ) ist die Phase.
Wellengeschwindigkeit aus der Gleichung: v = ω/k. Eine Welle in −x-Richtung schreibt man y = A sin(kx + ωt + φ).
Phasendifferenz zwischen zwei Punkten im Abstand Δx zur selben Zeit: Δφ = (2π/λ) Δx. Jedes Teilchen führt eine harmonische Schwingung aus; weiter vorn liegende Punkte hinken einfach nach.
Probier es aus: ein Seil und ein Slinky
Binde ein Ende eines langen Seils (oder eines Schals) an eine Türklinke. Ruck einmal mit der Hand nach oben: Ein Buckel läuft am Seil entlang (transversal). Zieh das Seil straffer und ruck noch einmal: Der Buckel läuft schneller. Wenn du einen Slinky hast, leg ihn auf den Boden und schieb ein Ende an: Ein dichter Bereich läuft entlang (longitudinal). In der 3D-Szene kannst du in Schritt 5 beides ausprobieren und v und λ ablesen.
Wichtige Formeln und Definitionen
- v = fλ = λ/T
- y = A sin(kx − ωt + φ), k = 2π/λ, ω = 2πf, v = ω/k
- Seil: v = √(T/μ)
- Schall im Gas: v = √(γP/ρ) (Laplace); Newton: √(P/ρ)
- Phasendifferenz Δφ = (2π/λ) Δx
Gelöste Beispiele
1. Eine Welle hat f = 500 Hz und λ = 0.68 m. Bestimme ihre Geschwindigkeit.
v = fλ = 500 × 0.68 = 340 m/s.
2. Ein Radiosender sendet mit 100 MHz. Radiowellen laufen mit 3 × 10⁸ m/s. Bestimme λ.
λ = v/f = 3 × 10⁸ / 10⁸ = 3 m.
3. Ein Seil der Masse 20 g und der Länge 2 m wird mit 80 N gespannt. Bestimme die Wellengeschwindigkeit darauf.
μ = 0.02/2 = 0.01 kg/m. v = √(T/μ) = √(80/0.01) = √8000 ≈ 89.4 m/s.
4. y = 0.02 sin(4πx − 400πt) (SI). Bestimme A, λ, f und v.
A = 0.02 m. k = 4π → λ = 2π/k = 0.5 m. ω = 400π → f = 200 Hz. v = ω/k = 400π/4π = 100 m/s (in +x-Richtung).
5. Zwei Punkte einer Welle mit λ = 2 m liegen 0.5 m auseinander. Bestimme die Phasendifferenz zwischen ihnen.
Δφ = (2π/λ)Δx = (2π/2) × 0.5 = π/2.
6. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt bei 27 °C 347 m/s. Bestimme sie bei 127 °C.
v ∝ √T. T₁ = 300 K, T₂ = 400 K. v₂ = 347 × √(400/300) = 347 × 1.155 ≈ 401 m/s.
7. Wende die Formeln von Newton und Laplace auf Luft an (P = 1.01 × 10⁵ Pa, ρ = 1.29 kg/m³, γ = 1.4).
Newton: v = √(P/ρ) = √(78300) ≈ 280 m/s. Laplace: v = √(1.4 × 78300) ≈ 331 m/s, das passt zum Experiment.
8. Wird die Spannkraft in einem Seil vervierfacht, was passiert dann mit der Wellengeschwindigkeit und, bei gleicher Frequenz, mit der Wellenlänge?
v ∝ √T, also verdoppelt sich v. λ = v/f, also verdoppelt sich auch λ.
Häufige Fehler
- Zu glauben, dass die Teilchen mit der Welle mitwandern. Sie schwingen nur um ihre eigene Ruhelage; die Energie wandert.
- k und λ verwechseln. k = 2π/λ, eine Welle mit k = 4π rad/m hat also λ = 0.5 m, nicht 4π.
- Zu glauben, dass ein lauterer Schall (größere Amplitude) schneller läuft. Die Geschwindigkeit hängt vom Medium ab, nicht von Amplitude oder Frequenz.
- Die Formel von Newton √(P/ρ) für Schall in Luft zu benutzen. Richtig ist die Formel von Laplace √(γP/ρ).