Movimiento periódico y oscilatorio
Un movimiento que se repite después de intervalos de tiempo iguales es periódico. La Tierra dando vueltas al Sol y las agujas de un reloj son periódicas.
Si además el objeto se mueve de un lado a otro alrededor de un punto central (la posición media o de equilibrio), el movimiento es oscilatorio. Toda oscilación es periódica, pero no todo movimiento periódico es una oscilación (la aguja de un reloj gira, no va y viene).
- Periodo T: tiempo de una oscilación completa. Unidad: segundo (s).
- Frecuencia f: número de oscilaciones en un segundo. f = 1/T. Unidad: hercio (Hz); 1 Hz = 1 oscilación por segundo.
- Frecuencia angular ω = 2πf = 2π/T. Unidad: rad/s.
El desplazamiento en función del tiempo
El desplazamiento x es la distancia del objeto al centro, con signo (+ a un lado, − al otro). En el MAS, x cambia con el tiempo como una onda seno (o coseno):
x(t) = A sin(ωt + φ)
- A = amplitud = el mayor desplazamiento.
- ω = frecuencia angular.
- φ = constante de fase (fase inicial): fija dónde estaba el objeto en t = 0.
Un seno y un coseno son la misma curva, solo desplazada, así que x = A cos(ωt + φ′) también es correcta con otro valor de φ′.
El MAS, su ecuación y el círculo de referencia
El movimiento armónico simple es un movimiento de vaivén en el que la fuerza recuperadora (el tirón de vuelta al centro) es proporcional al desplazamiento y apunta en sentido contrario:
F = −kx por tanto a = −ω²x, con ω = √(k/m).
El signo menos indica que la fuerza siempre apunta hacia el centro. Forma diferencial: d²x/dt² + ω²x = 0.
Círculo de referencia: si un punto recorre una circunferencia de radio A con velocidad angular constante ω, su sombra sobre un diámetro hace un MAS. Por eso la misma ω aparece en el movimiento circular y en el MAS.
Velocidad y aceleración
- v = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) = ±ω√(A² − x²). Máxima (Aω) en el centro, cero en los extremos.
- a = dv/dt = −Aω² sin(ωt + φ) = −ω²x. Máxima (Aω²) en los extremos, cero en el centro.
Fase y diferencia de fase
El ángulo completo (ωt + φ) se llama fase. Indica el estado del movimiento: dónde está el objeto y hacia dónde se mueve.
- Fase 0: en el centro, moviéndose hacia +x.
- Fase π/2: en +A, parándose un instante.
- Fase π: otra vez en el centro, moviéndose hacia −x.
- Fase 3π/2: en −A.
Dos MAS con la misma ω tienen una diferencia de fase Δφ. Si Δφ = 0 se mueven juntos (en fase); si Δφ = π siempre se mueven al revés (en oposición de fase). La velocidad se adelanta π/2 respecto al desplazamiento, y la aceleración está en oposición de fase (π) con el desplazamiento.
La energía en el MAS
Un oscilador cambia energía entre dos formas y mantiene fijo el total (sin rozamiento):
- Energía cinética K = ½mv² = ½k(A² − x²)
- Energía potencial U = ½kx²
- Energía total E = K + U = ½kA² = ½mω²A² (constante)
En x = 0: K = E, U = 0. En x = ±A: K = 0, U = E. K = U cuando x = A/√2. K y U se repiten dos veces en cada periodo, así que varían con periodo T/2.
Pruébalo: un péndulo casero
Ata una llave o una piedra pequeña a un hilo de 1 m y déjala oscilar un poco. Con el cronómetro del móvil mide el tiempo de 20 oscilaciones completas. Divide entre 20 para obtener T. Luego calcula f = 1/T. Ahora suéltala desde una amplitud mayor (pero aún pequeña): T casi no cambia. Es una señal de MAS. En el 3D de arriba, mueve el deslizador de A y comprueba que T tampoco cambia.
Fórmulas y definiciones clave
- f = 1/T, ω = 2πf = 2π/T
- x = A sin(ωt + φ)
- F = −kx, a = −ω²x, ω = √(k/m)
- v = ω√(A² − x²), v_max = Aω, a_max = Aω²
- K = ½k(A² − x²), U = ½kx², E = ½kA² = ½mω²A²
Ejemplos resueltos
1. Un péndulo hace 40 oscilaciones en 20 s. Calcula su periodo, su frecuencia y su frecuencia angular.
T = 20/40 = 0.5 s. f = 1/T = 2 Hz. ω = 2πf = 4π ≈ 12.6 rad/s.
2. x = 0.05 sin(10πt + π/6) m. Calcula la amplitud, la frecuencia, el periodo y la fase inicial.
Comparando con x = A sin(ωt + φ): A = 0.05 m, ω = 10π rad/s, así que f = ω/2π = 5 Hz, T = 0.2 s, φ = π/6.
3. Un cuerpo con MAS tiene A = 4 cm y T = 2 s. Calcula la rapidez máxima y la aceleración máxima.
ω = 2π/T = π rad/s. v_max = Aω = 0.04 × π ≈ 0.126 m/s. a_max = Aω² = 0.04 × π² ≈ 0.395 m/s².
4. Para el cuerpo del ejemplo anterior, calcula la rapidez cuando x = 2 cm.
v = ω√(A² − x²) = π√(0.04² − 0.02²) = π√(0.0012) ≈ π × 0.0346 ≈ 0.109 m/s.
5. Una masa de 0.2 kg hace un MAS con ω = 5 rad/s y A = 0.1 m. Calcula la energía total y la energía cinética en x = 0.06 m.
k = mω² = 0.2 × 25 = 5 N/m. E = ½kA² = ½ × 5 × 0.01 = 0.025 J. U = ½ × 5 × 0.0036 = 0.009 J, así que K = 0.025 − 0.009 = 0.016 J.
6. ¿En qué desplazamiento la energía cinética es igual a la potencial?
K = U significa ½k(A² − x²) = ½kx², así que A² = 2x² y x = ±A/√2 ≈ ±0.71A.
7. Dos MAS: x₁ = 3 sin(ωt) y x₂ = 3 cos(ωt). Calcula la diferencia de fase.
cos(ωt) = sin(ωt + π/2), así que x₂ se adelanta a x₁ en π/2 (90°). Cuando uno está en el centro, el otro está en un extremo.
8. ¿Cuál de estos es un MAS: (a) a = −9x, (b) a = −9x², (c) a = 9x?
Solo (a): la aceleración es proporcional a x y de sentido contrario; ω = √9 = 3 rad/s, T = 2π/3 s. (b) no es proporcional a x y (c) apunta alejándose del centro.
Errores comunes
- Pensar que todo movimiento periódico es un MAS. La aguja de un reloj es periódica pero no va y viene; el MAS también exige F ∝ −x.
- Confundir f y ω. ω = 2πf, así que un movimiento de 2 Hz tiene ω ≈ 12.6 rad/s, no 2.
- Creer que la rapidez es máxima en los extremos. En los extremos el cuerpo se detiene un instante; la rapidez es máxima en el centro.
- Olvidar pasar de cm a m antes de usar E = ½kA². 5 cm = 0.05 m.