संख्याओं की तुलना: अंतर या अनुपात
15 की 12 से तुलना करने के दो सही तरीक़े हैं।
- अंतर: 15 − 12 = 3। यह बताता है कि उसी इकाई में कितना ज़्यादा।
- अनुपात: 15 ÷ 12 = 1.25। यह बताता है कि कितने गुना बड़ा, बिना इकाई के। 1.25 का मतलब +25%।
जब इकाई मायने रखे तो अंतर लो (3 बच्चे ज़्यादा)। जब अलग-अलग आकार की चीज़ें तुलनी हों तो अनुपात लो: ₹10 की बढ़त ₹40 के पेन के लिए बड़ी है और ₹4000 के बैग के लिए बहुत छोटी।
भिन्न, घात और परिमाण की कोटि
10 की घात बड़ी और छोटी संख्याओं को छोटा लिखने देती है। 10³ = 1000 (हज़ार), 10⁶ = 10 लाख (मिलियन), 10⁰ = 1, 10⁻² = 1/100 = 0.01। दो नियम: 10ᵃ × 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ और 10ᵃ ÷ 10ᵇ = 10ᵃ⁻ᵇ।
किसी संख्या की परिमाण की कोटि (order of magnitude) उसके सबसे पास की 10 की घात होती है। क्रिकेट का मैदान क़रीब 10² मीटर चौड़ा है; चंद्रमा की दूरी क़रीब 4 × 10⁸ मीटर है, यानी लगभग 10⁶ गुना ज़्यादा। भिन्न जोड़ने से पहले समान हर बनाओ (1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12)। भिन्न से भाग देना हो तो उसे उलटकर गुणा करो।
इकाइयाँ बदलना
इकाई के बदलाव को 1 के बराबर गुणक की तरह लिखो और गुणा करो। 1 km = 1000 m, 1 घंटा = 3600 s, 1 L = 1000 cm³, 1 m² = 10 000 cm² (क्षेत्रफल में गुणक का वर्ग) और 1 m³ = 10⁶ cm³ (आयतन में घन)।
चाल: 36 km/h = 36 × 1000 m ÷ 3600 s = 10 m/s। छोटा रास्ता: km/h को 3.6 से भाग दो तो m/s मिलता है, और m/s को 3.6 से गुणा करो तो km/h।
प्रतिशत बदलाव: लगातार और व्युत्क्रम
p% के बदलाव से मान बनता है मान × (1 + p/100)। संख्या 1 + p/100 को गुणक कहते हैं। 20% बढ़त: × 1.2। 20% कमी: × 0.8।
लगातार बदलावों के गुणक आपस में गुणा होते हैं। +20% फिर −20%: 1.2 × 0.8 = 0.96, यानी नतीजा 4% कम। दूसरा प्रतिशत नए, बड़े कुल का लिया जाता है, इसीलिए दोनों कटते नहीं।
व्युत्क्रम बदलाव (जो किसी बदलाव को पलट दे): गुणक उलटा होता है। +25% (× 1.25) के बाद पलटने का गुणक 1/1.25 = 0.8, यानी 20% की कमी।
गुणोत्तर वृद्धि में हर बार वही गुणक लगता है: 3, 6, 12, 24 का गुणक 2 है। इसके उलट समांतर वृद्धि में हर बार वही संख्या जुड़ती है: 3, 6, 9, 12। अगर कोई चीज़ हर साल 5% बढ़े तो n साल बाद वह × 1.05ⁿ हो जाती है।
खोलना, गुणनखंड और विशेष गुणनफल
कोष्ठक खोलना: a(b + c) = ab + ac। गुणनखंड करना इसका उलटा है: 6x + 9 = 3(2x + 3)।
तीन विशेष गुणनफल ज़बानी याद रखो: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² और (a + b)(a − b) = a² − b²। 3D में दिखता है कि बीच का हिस्सा 2ab क्यों है: बड़े वर्ग में ab क्षेत्रफल वाले दो बराबर आयत हैं।
इनसे तेज़ गणना होती है: 99² = (100 − 1)² = 9801 और 52 × 48 = 50² − 2² = 2496।
सूत्र में एक अक्षर को विषय बनाना
दोनों पक्षों पर एक ही क्रिया करते जाओ जब तक चाहा गया अक्षर अकेला न हो जाए। v = u + at में u घटाओ: v − u = at, फिर a से भाग दो: t = (v − u)/a। A = ½bh में 2 से गुणा और b से भाग: h = 2A/b। सूत्र जिस क्रम में बना था, उसके उलटे क्रम में चलो।
शून्य-गुणनफल समीकरण और व्यंजक का चिह्न
गुणनफल तभी शून्य होता है जब कोई गुणनखंड शून्य हो। इसलिए (x − 3)(x + 2) = 0 से x = 3 या x = −2।
गुणनखंड किए व्यंजक का चिह्न जानने के लिए संख्या रेखा पर हर गुणनखंड के शून्य चिह्नित करो और हर भाग में एक बिंदु जाँचो। (x − 1)(x + 4) के लिए शून्य −4 और 1 हैं। x = 0 पर मान −4 (ऋणात्मक) है, इसलिए व्यंजक −4 और 1 के बीच ऋणात्मक और बाहर धनात्मक है। रैखिक व्यंजक ax + b का चिह्न सिर्फ़ एक बार x = −b/a पर बदलता है।
ग्राफ़, चार्ट, सारणी और वृक्ष जल्दी पढ़ना
रेखा y = mx + c में c वह जगह है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, और m (ढाल) बताता है कि x में 1 क़दम पर y कितना चढ़ता है। बार चार्ट या पाई चार्ट में पहले आकार की तुलना करो, फिर संख्याएँ पढ़ो। सारणी से सप्रतिबंध प्रायिकता निकालने के लिए उसी पंक्ति या स्तंभ से भाग दो जिसकी शर्त दी हो: P(A, दिया B) = (A और B) ÷ (कुल B)। वृक्ष में शाखाओं के साथ-साथ गुणा करो।
अगर किसी फलन का अवकलज किसी अंतराल में धनात्मक है तो फलन वहाँ बढ़ता है; ऋणात्मक हो तो घटता है। इसलिए अवकलज का चिह्न ही फलन की परिवर्तन-सारणी देता है।
जुड़ी हुई नियमित गणनाएँ
कड़ी यानी एक के बाद एक कई क़दम, जैसे दाम पहले 15% घटे और फिर 10% बढ़े। हर क़दम को एक क्रिया में लिखो (× 0.85, फिर × 1.1), बीच का नतीजा याद रखो और अंत में अनुमान से जाँचो: 1200 × 0.85 = 1020, फिर 1020 × 1.1 = 1122। पहले मोटा अनुमान (क़रीब 1200 − 180 + 100) लगाने से ग़लतियाँ पकड़ में आती हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- नया मान = पुराना मान × (1 + p/100)
- लगातार बदलाव: गुणक = (1 + p₁/100) × (1 + p₂/100)
- +p% को पलटना: गुणक 1/(1 + p/100); +25% को −20% पलटता है
- p% की वृद्धि n बार: मान × (1 + p/100)ⁿ
- (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
- ab = 0 ⇒ a = 0 या b = 0
- km/h ÷ 3.6 = m/s
हल किए गए उदाहरण
1. सापेक्ष रूप से कौन-सी बढ़त बड़ी है: 20 → 25 या 50 → 60?
अनुपात: 25/20 = 1.25 (+25%) और 60/50 = 1.2 (+20%)। पहली बढ़त सापेक्ष रूप से बड़ी है, भले ही दूसरी में अंतर बड़ा है (10 बनाम 5)।
2. चंद्रमा क़रीब 4 × 10⁸ m दूर है और क्रिकेट की पिच क़रीब 2 × 10¹ m लंबी है। दूरी कितने गुना बड़ी है?
भाग दो: (4 × 10⁸) ÷ (2 × 10¹) = 2 × 10⁷। यानी लगभग 2 करोड़ गुना दूर।
3. 2.5 L को cm³ में और 54 km/h को m/s में बदलो।
1 L = 1000 cm³, इसलिए 2.5 L = 2500 cm³। 54 ÷ 3.6 = 15 m/s।
4. 80 रुपये का दाम 25% बढ़ता है। नया दाम क्या है? वापस 80 करने के लिए कितने प्रतिशत घटाएँ?
नया दाम = 80 × 1.25 = 100। पलटने का गुणक = 1/1.25 = 0.8, यानी 20% की कमी (100 × 0.8 = 80)।
5. 200 रुपये पर बैंक दो साल तक हर साल 10% ब्याज देता है। दो साल बाद कुल कितना?
गुणक = 1.1 × 1.1 = 1.21। इसलिए 200 × 1.21 = 242। यह 21% ज़्यादा है, 20% नहीं।
6. बिना कैलकुलेटर के 99² और 52 × 48 निकालो।
99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801। 52 × 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2496।
7. A = ½bh में h को विषय बनाओ और A = 30, b = 12 पर h निकालो।
2 से गुणा: 2A = bh। b से भाग: h = 2A/b। इसलिए h = 60/12 = 5।
8. (x − 4)(2x + 6) = 0 हल करो।
गुणनफल तब शून्य होता है जब कोई गुणनखंड शून्य हो। x − 4 = 0 से x = 4। 2x + 6 = 0 से x = −3। हल: 4 और −3।
9. (x + 2)(x − 5) कहाँ धनात्मक है?
शून्य −2 और 5 हैं। x = 0 पर मान (2)(−5) = −10 ऋणात्मक है, यानी −2 और 5 के बीच ऋणात्मक। इसलिए यह x < −2 या x > 5 पर धनात्मक है।
10. एक साइकिल 1200 की है। सेल में दाम 15% घटता है और एक महीने बाद 10% बढ़ता है। अंतिम दाम निकालो।
1200 × 0.85 = 1020। फिर 1020 × 1.1 = 1122। कुल गुणक 0.935, यानी 6.5% कम।
11. 3, 6, 12, 24 गुणोत्तर है या समांतर? अगला पद क्या है?
अनुपात 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2, इसलिए यह गुणक 2 वाला गुणोत्तर क्रम है। अगला पद 48। (अंतर 3, 6, 12 बराबर नहीं, इसलिए समांतर नहीं।)
आम गलतियाँ
- सोचना कि +20% फिर −20% से शुरुआती मान लौट आता है। 20% की कमी बड़े मान की होती है, इसलिए आप 4% नीचे रहते हैं।
- लगातार प्रतिशत जोड़ देना (10% + 10% = 20%)। गुणक गुणा करने हैं: 1.1 × 1.1 = 1.21, यानी 21%।
- +25% को −25% से पलटना। पलटने का प्रतिशत 20% है, गुणक 1/1.25 = 0.8 से।
- (a + b)² = a² + b² लिख देना। बीच का 2ab छूट गया; 3D के ब्लॉक में ab के दो आयत दिखते हैं।
- (x − 3)(x + 2) = 6 को x − 3 = 6 या x + 2 = 6 से हल करना। शून्य-गुणनफल नियम तभी चलता है जब गुणनफल 0 हो।