Norme et direction d'un vecteur
Un vecteur est une grandeur qui a une taille et une direction, comme une poussée, une vitesse ou un déplacement d'un endroit à un autre. Un scalaire a seulement une taille, comme la masse ou le temps.
On dessine un vecteur comme une flèche allant d'un point de départ (origine) à un point d'arrivée (extrémité). La norme est la longueur de la flèche, notée |a|. Pour a = xî + yĵ + zk̂ la norme est |a| = √(x² + y² + z²). C'est simplement Pythagore utilisé deux fois.
La direction est donnée par les angles que la flèche fait avec les demi-axes positifs x, y et z.
Cosinus directeurs et rapports directeurs
Supposons que la flèche fasse les angles α, β, γ avec les axes x, y et z. Alors l = cos α, m = cos β, n = cos γ sont ses cosinus directeurs.
- Pour a = xî + yĵ + zk̂ : l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|.
- On a toujours l² + m² + n² = 1 (car x² + y² + z² = |a|²).
Trois nombres quelconques dans les mêmes proportions que l, m, n s'appellent des rapports directeurs. Les composantes x, y, z elles-mêmes sont des rapports directeurs. Pour passer des rapports a, b, c aux cosinus, on divise chacun par √(a² + b² + c²).
Pourquoi c'est utile : le vecteur unitaire dans la direction de a est simplement lî + mĵ + nk̂.
Types de vecteurs
- Vecteur nul 0 : longueur 0, le départ et l'arrivée sont le même point, direction non fixée.
- Vecteur unitaire â : longueur 1. â = a/|a|. î, ĵ, k̂ sont les vecteurs unitaires le long des axes.
- Vecteurs de même origine : même point de départ.
- Vecteurs colinéaires (parallèles) : portés par la même droite ou par des droites parallèles ; b = k a pour un certain nombre k.
- Vecteurs égaux : même longueur et même direction, où qu'on les dessine (vecteurs libres).
- Vecteur opposé −a : même longueur, direction contraire.
Vecteur position et composantes
Le vecteur position d'un point P(x, y, z) est la flèche allant de l'origine O à P : OP = xî + yĵ + zk̂. Sa longueur est la distance OP.
Ici x î, y ĵ et z k̂ sont les composantes vectorielles le long des axes, et x, y, z sont les composantes scalaires.
Vecteur joignant deux points
De P₁(x₁, y₁, z₁) à P₂(x₂, y₂, z₂) : P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂ — toujours « extrémité moins origine ».
Addition de vecteurs et multiplication par un scalaire
Loi du triangle : on place l'origine de b sur l'extrémité de a ; la flèche allant de l'origine de a à l'extrémité de b est a + b. La loi du parallélogramme dit la même chose : on trace a et b depuis un même point ; la diagonale est a + b.
- Avec les composantes : on additionne séparément les parties en î, en ĵ et en k̂.
- L'addition est commutative (a + b = b + a) et associative ((a + b) + c = a + (b + c)).
- a + (−a) = 0, et a − b = a + (−b).
Multiple scalaire
k a a pour longueur |k||a|. Si k > 0 il pointe dans le même sens, si k < 0 il pointe dans le sens contraire, si k = 0 c'est le vecteur nul. k(a + b) = ka + kb.
Formule du point qui divise un segment
Soient A et B de vecteurs position a et b.
- Division intérieure dans le rapport m : n : r = (m b + n a)/(m + n).
- Division extérieure dans le rapport m : n : r = (m b − n a)/(m − n), m ≠ n.
- Milieu (m = n) : r = (a + b)/2.
Pourquoi : AP : PB = m : n signifie n·AP = m·PB, c'est-à-dire n(r − a) = m(b − r). On résout pour r. Retiens : m multiplie l'extrémité lointaine b.
Aussi : le centre de gravité d'un triangle de sommets a, b, c est (a + b + c)/3.
Produit scalaire et ses usages
a·b = |a||b| cos θ, où θ (0 ≤ θ ≤ π) est l'angle entre les deux vecteurs. Le résultat est un nombre (scalaire).
- Avec les composantes : a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
- î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1 ; î·ĵ = ĵ·k̂ = k̂·î = 0.
- a·b = 0 ⇔ a ⊥ b (pour des vecteurs non nuls). a·a = |a|².
- Commutatif : a·b = b·a ; distributif sur l'addition.
Usages
- Angle : cos θ = a·b / (|a||b|).
- Projection de a sur b : a·b̂ = a·b/|b| (l'« ombre » de a sur b).
- Travail d'une force : W = F·d.
Produit vectoriel et ses usages
a × b = |a||b| sin θ n̂, où n̂ est le vecteur unitaire perpendiculaire à a et à b, choisi par la règle de la main droite (on enroule les doigts de a vers b, le pouce donne n̂).
- î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ ; î × î = 0.
- b × a = −(a × b) (non commutatif).
- a × b = 0 ⇔ a ∥ b (pour des vecteurs non nuls).
- Avec les composantes on utilise le déterminant 3 × 3 avec î, ĵ, k̂ sur la première ligne, a₁ a₂ a₃ sur la deuxième, b₁ b₂ b₃ sur la troisième.
Usages
- Aire du parallélogramme de côtés a, b = |a × b| ; de diagonales d₁, d₂ = ½|d₁ × d₂|.
- Aire du triangle ABC = ½|AB × AC|.
- Un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés ; sin θ = |a × b| / (|a||b|).
- Moment d'une force τ = r × F en physique.
Examen : dans l'examen de fin d'année du CBSE indien, cette unité compte 14 points avec la géométrie 3D ; les questions typiques portent sur l'angle et la projection, l'aire par le produit vectoriel, le vecteur unitaire perpendiculaire à deux vecteurs et la formule de division d'un segment.
Formules et définitions clés
- |a| = √(x² + y² + z²)
- l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|; l² + m² + n² = 1
- â = a/|a|
- P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂
- Intérieur : r = (mb + na)/(m + n) ; extérieur : r = (mb − na)/(m − n)
- a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- Projection de a sur b = a·b/|b|
- |a × b| = |a||b|sinθ ; aire du triangle = ½|a × b|
Exemples résolus
1. Trouve la norme et les cosinus directeurs de a = 2î − 3ĵ + 6k̂.
Étape 1 : |a| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Étape 2 : l = 2/7, m = −3/7, n = 6/7. Vérification : 4/49 + 9/49 + 36/49 = 1 ✓.
2. Trouve le vecteur unitaire dans la direction de a + b, où a = î + 2ĵ − k̂ et b = 2î − ĵ + 3k̂.
Étape 1 : a + b = 3î + ĵ + 2k̂. Étape 2 : |a + b| = √(9 + 1 + 4) = √14. Étape 3 : vecteur unitaire = (3î + ĵ + 2k̂)/√14.
3. Trouve le vecteur position du point R qui divise P(2, −1, 3) et Q(4, 5, −3) extérieurement dans le rapport 2 : 1.
Étape 1 : r = (2q − 1p)/(2 − 1). Étape 2 : 2q = (8, 10, −6), p = (2, −1, 3). Étape 3 : 2q − p = (6, 11, −9). Donc r = 6î + 11ĵ − 9k̂.
4. Trouve l'angle entre a = î + ĵ − k̂ et b = î − ĵ + k̂.
Étape 1 : a·b = 1 − 1 − 1 = −1. Étape 2 : |a| = |b| = √3. Étape 3 : cosθ = −1/3. Donc θ = cos⁻¹(−1/3) ≈ 109.5°.
5. Trouve la projection de a = 2î + 3ĵ + 2k̂ sur b = î + 2ĵ + k̂.
Étape 1 : a·b = 2 + 6 + 2 = 10. Étape 2 : |b| = √6. Étape 3 : projection = 10/√6 = 5√6/3 ≈ 4.08.
6. Trouve un vecteur unitaire perpendiculaire à a = 2î + 3ĵ − k̂ et à b = î − ĵ + 2k̂.
Étape 1 : a × b = î(3·2 − (−1)(−1)) − ĵ(2·2 − (−1)·1) + k̂(2·(−1) − 3·1) = 5î − 5ĵ − 5k̂. Étape 2 : |a × b| = 5√3. Étape 3 : vecteur unitaire = ±(î − ĵ − k̂)/√3.
7. Trouve l'aire du triangle de sommets A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) et C(1, 5, 5).
Étape 1 : AB = î + 2ĵ + 3k̂, AC = 0î + 4ĵ + 3k̂. Étape 2 : AB × AC = î(6 − 12) − ĵ(3 − 0) + k̂(4 − 0) = −6î − 3ĵ + 4k̂. Étape 3 : |AB × AC| = √(36 + 9 + 16) = √61. Aire = ½√61 ≈ 3.9 unités d'aire.
8. Si |a| = 3, |b| = 4 et a·b = 6, trouve |a × b| et |a + b|.
Étape 1 : cosθ = 6/12 = 1/2, donc θ = 60° et sinθ = √3/2. Étape 2 : |a × b| = 3 × 4 × √3/2 = 6√3. Étape 3 : |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b = 9 + 16 + 12 = 37, donc |a + b| = √37.
Erreurs fréquentes
- Écrire a × b = b × a. L'ordre compte : b × a = −(a × b).
- Oublier la racine carrée dans |a|, ou additionner les composantes au lieu de leurs carrés.
- Dans la formule de division, mettre m avec a au lieu de b. m va avec l'extrémité lointaine b : (mb + na)/(m + n).
- Mettre un signe + devant le terme du milieu du déterminant du produit vectoriel. Le terme en ĵ porte toujours un signe moins : −ĵ(a₁b₃ − a₃b₁).