मिश्रण का माध्य मूल्य
माध्य मूल्य मिश्रण की एक इकाई का दाम है। यह एक भारित औसत है:
m = (q₁ × c + q₂ × d) ÷ (q₁ + q₂)
जहाँ q₁ इकाइयाँ c दाम की और q₂ इकाइयाँ d दाम की हैं। माध्य हमेशा c और d के बीच होता है, और ज़्यादा मात्रा वाले के दाम के पास होता है।
उदाहरण: ₹40 वाला 3 kg और ₹60 वाला 1 kg → m = (120 + 60) ÷ 4 = ₹45।
एलीगेशन (मिश्रण) का नियम
एलीगेशन वह तेज़ नियम है जो बताता है कि दी गई माध्य कीमत का मिश्रण पाने के लिए दो चीज़ें किस अनुपात में मिलानी हैं।
सस्ती की मात्रा : महँगी की मात्रा = (d − m) : (m − c)
इसे क्रॉस के रूप में लिखिए:
c (सस्ता) d (महँगा)
\ /
m
/ \
(d − m) (m − c)यह क्यों सही है: संतुलन पर महँगे हिस्से पर जितना 'ज़्यादा' है, सस्ते हिस्से पर उतना ही 'कम' है: q₁(m − c) = q₂(d − m)। दोनों ओर भाग देने पर q₁ : q₂ = (d − m) : (m − c)। यही झूले (आघूर्ण) का नियम है।
यह नियम हर उस चीज़ पर लगता है जिसका भारित औसत निकलता है: प्रति kg दाम, % सांद्रता, चाल, तापमान, अंक।
द्रवों के मिश्रण और सांद्रता
पानी को 'शून्य दाम का द्रव' या '0% सांद्रता वाला घोल' मानिए। उदाहरण: दूध ₹60/L है। कितना पानी मिलाएँ कि मिश्रण ₹48/L का हो? पानी (0) और दूध (60), माध्य 48: पानी : दूध = (60 − 48) : (48 − 0) = 12 : 48 = 1 : 4।
लाभ वाले सवाल: अगर विक्रेता मिश्रण को दूध के क्रय मूल्य पर बेचकर 25% लाभ चाहता है, तो मिश्रण का क्रय मूल्य 60 ÷ 1.25 = ₹48, यानी वही सवाल।
बार-बार प्रतिस्थापन (निकालना और भरना)
एक बर्तन में V लीटर शुद्ध द्रव है। हर बार x लीटर निकालकर पानी भरा जाता है। n बार ऐसा करने के बाद:
बचा शुद्ध द्रव = V × (1 − x/V)ⁿ
हर बार पिछली मात्रा का (1 − x/V) भाग बचता है, इसलिए मात्रा उलटे चक्रवृद्धि ब्याज की तरह घटती है। उदाहरण: V = 40, x = 4, n = 2 → 40 × 0.9² = 32.4 L।
करके देखिए: तापमान का अनुमान
60 °C के 3 कप गर्म पानी में 20 °C का 1 कप ठंडा पानी मिलाइए। एलीगेशन: गर्म : ठंडा = (m − 20) : (60 − m) = 3 : 1, तो m = 50 °C। नापकर तुलना कीजिए। थोड़ी गर्मी कप में चली जाती है, इसलिए पढ़त थोड़ी कम आ सकती है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- माध्य मूल्य m = (q₁c + q₂d) ÷ (q₁ + q₂)
- एलीगेशन का नियम: सस्ती : महँगी = (d − m) : (m − c)
- संतुलन: q₁(m − c) = q₂(d − m)
- पतला करने के सवालों में पानी का दाम 0 (या सांद्रता 0%)
- बार-बार प्रतिस्थापन: बचा द्रव = V(1 − x/V)ⁿ
- लाभ वाले सवाल: मिश्रण का क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य ÷ (1 + लाभ%)
हल किए गए उदाहरण
1. ₹40/kg और ₹60/kg के चावल मिलाकर ₹45/kg का मिश्रण बनाना है। अनुपात बताइए।
सस्ता : महँगा = (60 − 45) : (45 − 40) = 15 : 5 = 3 : 1।
2. ₹42/kg वाली 5 kg चीनी और ₹50/kg वाली 3 kg चीनी मिलाने पर माध्य मूल्य निकालिए।
m = (5 × 42 + 3 × 50) ÷ 8 = (210 + 150) ÷ 8 = 360 ÷ 8 = ₹45/kg।
3. ₹60/L वाले दूध में पानी किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹50/L का हो?
पानी (0) और दूध (60), माध्य 50। पानी : दूध = (60 − 50) : (50 − 0) = 10 : 50 = 1 : 5।
4. 30% और 70% अम्ल के घोल मिलाकर 45% का 40 L घोल बनाना है। हर एक कितने लीटर?
अनुपात 30% : 70% = (70 − 45) : (45 − 30) = 25 : 15 = 5 : 3। 30% घोल = 40 × 5/8 = 25 L; 70% घोल = 15 L।
5. ₹420/kg वाली 12 kg चाय में ₹300/kg वाली कितनी चाय मिलाएँ कि मिश्रण ₹350/kg का हो?
सस्ती : महँगी = (420 − 350) : (350 − 300) = 70 : 50 = 7 : 5। सस्ती = 12 × 7/5 = 16.8 kg।
6. एक दूधवाला ₹50/L पर दूध खरीदता है, उसमें पानी मिलाकर ₹50/L पर बेचता है और 25% लाभ कमाता है। पानी और दूध का अनुपात बताइए।
मिश्रण का क्रय मूल्य = 50 ÷ 1.25 = ₹40/L। पानी : दूध = (50 − 40) : (40 − 0) = 10 : 40 = 1 : 4।
7. 40 L दूध के बर्तन से 4 L निकालकर पानी भरा जाता है। ऐसा दो बार होता है। कितना दूध बचा?
दूध = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × 0.81 = 32.4 L। पानी = 7.6 L।
8. 20 L शुद्ध जूस के बर्तन से 5 L निकालकर तीन बार पानी भरा गया। अंत में जूस और पानी का अनुपात?
जूस = 20 × (1 − 5/20)³ = 20 × 0.421875 = 8.4375 L। पानी = 11.5625 L। अनुपात = 27 : 37।
आम गलतियाँ
- अनुपात उलटा लिखना: सस्ती मात्रा के साथ (महँगा − माध्य) जाता है, (माध्य − सस्ता) नहीं।
- लाभ वाले सवाल में विक्रय मूल्य को ही माध्य मूल्य मान लेना; पहले क्रय मूल्य निकालिए।
- बार-बार प्रतिस्थापन में एक ही बार घटाना; (1 − x/V) की घात n लगानी होती है।
- मात्राएँ अलग हों तब भी दामों का सीधा औसत लेना; भारित औसत लीजिए।