समुच्चय क्या है? रोस्टर और समुच्चय-निर्माण रूप
समुच्चय अलग-अलग वस्तुओं का ऐसा संग्रह है जो सुपरिभाषित हो। सुपरिभाषित का मतलब: कोई भी साफ़ बता सके कि कोई वस्तु उसमें है या नहीं। 'अंग्रेज़ी के स्वर' एक समुच्चय है। 'लंबे बच्चे' नहीं, क्योंकि 'लंबा' साफ़ नहीं है।
समुच्चय की वस्तुओं को अवयव कहते हैं। 3 ∈ A (3, A का अवयव है), 5 ∉ A (5, A में नहीं है)।
लिखने के दो तरीके
- रोस्टर (सारणी) रूप: कोष्ठक { } में अवयव लिखो, बीच में अल्पविराम। A = {2, 4, 6, 8}। क्रम से फ़र्क नहीं पड़ता, दोहराव नहीं लिखते।
- समुच्चय-निर्माण रूप: नियम लिखो। A = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है, x ≤ 8}। ':' को 'ऐसे कि' पढ़ो।
3D के पहले चरण में नीला घेरा A है, और नीचे दोनों रूप लिखे आते हैं।
समुच्चयों के प्रकार: रिक्त, परिमित, अपरिमित, समान
- रिक्त समुच्चय ∅ या { }: कोई अवयव नहीं। जैसे {x : x प्राकृत संख्या है और x < 1}।
- एकल समुच्चय: सिर्फ़ एक अवयव, जैसे {0}। ध्यान दो, {0} रिक्त नहीं है।
- परिमित समुच्चय: अवयव गिने जा सकें और गिनती ख़त्म हो जाए। n(A) = अवयवों की संख्या।
- अपरिमित समुच्चय: गिनती कभी ख़त्म न हो, जैसे सभी प्राकृत संख्याएँ।
- समान समुच्चय: बिल्कुल वही अवयव। {1, 2, 3} = {3, 1, 2}।
- तुल्य समुच्चय: अवयवों की संख्या बराबर, n(A) = n(B)।
उपसमुच्चय, घात समुच्चय और अंतराल
अगर B का हर अवयव A में भी है, तो B, A का उपसमुच्चय है: B ⊂ A। 3D के दूसरे चरण में लाल घेरा पूरा नीले घेरे के अंदर है।
- हर समुच्चय अपना ही उपसमुच्चय है। ∅ हर समुच्चय का उपसमुच्चय है।
- B ⊂ A और B ≠ A हो तो B उचित उपसमुच्चय है।
- घात समुच्चय P(A): A के सारे उपसमुच्चयों का समुच्चय। n(A) = n हो तो n(P(A)) = 2ⁿ।
- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, और T (अपरिमेय) ⊂ R।
अंतराल: R के उपसमुच्चय
- विवृत अंतराल (a, b) = {x : a < x < b}: सिरे शामिल नहीं।
- संवृत अंतराल [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}: सिरे शामिल।
- अर्ध-विवृत [a, b) और (a, b]।
संख्या रेखा पर भरा बिंदु = शामिल, खाली बिंदु = शामिल नहीं। हर अंतराल की लंबाई b − a है।
सार्वत्रिक समुच्चय और वेन आरेख
किसी सवाल में जिन सब चीज़ों की बात हो रही है, उनका समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय U है। इसे आयत से दिखाते हैं और बाक़ी समुच्चयों को उसके अंदर घेरों से। यह चित्र वेन आरेख है।
3D का बोर्ड U = {1, …, 8} है। गेंद की जगह बताती है कि वह किस समुच्चय में है: सिर्फ़ A में, सिर्फ़ B में, दोनों में या किसी में नहीं।
संक्रियाएँ: सम्मिलन, सर्वनिष्ठ, अंतर, पूरक
- सम्मिलन A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}। (चरण 3)
- सर्वनिष्ठ A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}। (चरण 4) A ∩ B = ∅ हो तो A, B असंयुक्त हैं।
- अंतर A − B = {x : x ∈ A और x ∉ B}। (चरण 5) आम तौर पर A − B ≠ B − A।
- पूरक A′ = U − A।
गुण
- क्रमविनिमेय: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A।
- साहचर्य: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∩ के लिए भी।
- A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A, A ∪ A = A, A ∩ A = A।
- बंटन: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)।
- पूरक नियम: A ∪ A′ = U, A ∩ A′ = ∅, (A′)′ = A, U′ = ∅, ∅′ = U।
- डी मॉर्गन नियम: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′।
- गिनती: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)।
करके देखो
घर पर: 1 से 10 तक नंबर लिखी 10 पर्चियाँ लो (यह U है)। काग़ज़ पर दो बड़े घेरे बनाओ: A = 'सम', B = '6 से बड़ी'। हर पर्ची सही जगह रखो। फिर गिनकर जाँचो कि n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)।
3D में (आख़िरी चरण): पहले अंदाज़ा लगाओ कि A′ में कौन-सी गेंदें उठेंगी, फिर A′ दबाकर जाँचो। B = ∅ चुनकर A ∪ ∅ और A ∩ ∅ देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- n(A) = n हो तो n(P(A)) = 2ⁿ
- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
- A − B = A ∩ B′
- A′ = U − A, A ∪ A′ = U, A ∩ A′ = ∅
- (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
- (a, b) = {x : a < x < b}, [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}
हल किए गए उदाहरण
1. A = {x : x, 12 से छोटी अभाज्य संख्या है} को रोस्टर रूप में लिखो।
12 से छोटी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11 हैं। A = {2, 3, 5, 7, 11}।
2. B = {1, 4, 9, 16, 25} को समुच्चय-निर्माण रूप में लिखो।
हर अवयव किसी संख्या का वर्ग है: 1², 2², …, 5²। B = {x : x = n², n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 5}।
3. रिक्त, परिमित या अपरिमित बताओ: (i) {x ∈ N : 2 < x < 3} (ii) 'MATHS' के अक्षर (iii) 5 के गुणज।
(i) 2 और 3 के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं, इसलिए रिक्त। (ii) {M, A, T, H, S}: परिमित, 5 अवयव। (iii) 5, 10, 15, … ख़त्म नहीं होते: अपरिमित।
4. A = {a, b, c} के सारे उपसमुच्चय लिखो। कितने हैं?
∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}। कुल 8 = 2³। उचित उपसमुच्चय 7।
5. {x : −2 < x ≤ 5, x ∈ R} को अंतराल रूप में लिखो और लंबाई बताओ।
−2 शामिल नहीं, 5 शामिल है: (−2, 5]। लंबाई = 5 − (−2) = 7।
6. U = {1, …, 8}, A = {2, 4, 6, 8}, B = {3, 6}। A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, A′ निकालो।
A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8}, A ∩ B = {6}, A − B = {2, 4, 8}, B − A = {3}, A′ = {1, 3, 5, 7}। (3D के चरण 3, 4, 5)
7. ऊपर वाले समुच्चयों से डी मॉर्गन नियम (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ जाँचो।
(A ∪ B)′ = {1, 5, 7}। A′ = {1, 3, 5, 7}, B′ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, A′ ∩ B′ = {1, 5, 7}। दोनों बराबर।
8. 50 बच्चों में 30 को चाय, 25 को कॉफ़ी और 12 को दोनों पसंद हैं। कम से कम एक किसे पसंद? किसी को नहीं?
n(T ∪ C) = 30 + 25 − 12 = 43। किसी को नहीं = 50 − 43 = 7।
आम गलतियाँ
- अवयव दोहराना, जैसे {1, 1, 2}। समुच्चय में हर अवयव एक बार लिखो: {1, 2}।
- {0} या {∅} को रिक्त समुच्चय मानना। दोनों में एक-एक अवयव है। रिक्त सिर्फ़ ∅ = { } है।
- ∈ और ⊂ मिलाना। अवयव के लिए ∈ (2 ∈ A), समुच्चय के लिए ⊂ ({2} ⊂ A)।
- A − B और B − A को एक समझना। चरण 5 में देखो, दोनों अलग हैं।