Área y volumen: qué significan
Área = superficie total de todas las caras exteriores. Unidad: cm² o m². Volumen = espacio interior. Unidad: cm³ o m³. 1 litro = 1000 cm³, y 1 m³ = 1000 litros.
Área lateral = solo el lado, sin la tapa ni el fondo. Área total = todo el exterior.
Ortoedro y cubo
Un ortoedro tiene largo l, ancho b y altura h. Tiene 6 caras rectangulares en 3 pares iguales.
- Área total = 2(lb + bh + hl)
- Área lateral (4 paredes) = 2h(l + b)
- Volumen = l × b × h
Un cubo es un ortoedro con todos los lados iguales a a: área total = 6a², lateral = 4a², volumen = a³.
Cilindro
Un cilindro tiene dos bases circulares (radio r) y una altura h. Desenrolla su lado: es un rectángulo de 2πr por h.
- Área lateral = 2πrh
- Área total = 2πrh + 2πr² = 2πr(r + h)
- Volumen = área de la base × altura = πr²h
Cono
Un cono circular recto tiene una base circular (radio r), una altura h (desde la punta, en vertical, hasta el centro de la base) y una generatriz o altura inclinada l (desde la punta hasta el borde de la base). Por Pitágoras, l = √(r² + h²).
- Área lateral = πrl
- Área total = πrl + πr² = πr(l + r)
- Volumen = ⅓πr²h (un tercio del cilindro correspondiente)
Pirámide
Una pirámide tiene una base poligonal plana y caras triangulares que se juntan en una punta. Para una pirámide cuadrada de lado de la base a y altura h:
- Altura inclinada de cada cara triangular (apotema) = √(h² + (a/2)²)
- Área lateral = 4 × ½ × a × apotema
- Área total = a² + área lateral
- Volumen = ⅓ × área de la base × altura = ⅓a²h
Esta regla del ⅓ sirve para todas las pirámides y conos: volumen = ⅓ × área de la base × altura.
Esfera y semiesfera
Una esfera es una bola perfecta de radio r. Una semiesfera es media bola.
- Esfera: área = 4πr², volumen = ⁴⁄₃πr³
- Semiesfera: área curva = 2πr², área total = 3πr² (parte curva + círculo plano), volumen = ⅔πr³
Un cuenco hueco abierto por arriba solo usa la parte curva, 2πr².
Cómo suele aparecer en los exámenes
La mensuración (medida de áreas y volúmenes) suele valer 14 puntos en el examen de 9.º curso de la CBSE (2026-27). Preguntas típicas: la lona de una tienda de campaña (cono), el coste de pintar paredes (superficie lateral de un ortoedro), la capacidad de un depósito en litros y la chapa de un cuenco (semiesfera). Convierte siempre las unidades primero y escribe cm² o cm³.
Pruébalo en casa
Enrolla un cono de papel y un cilindro de papel con la misma base circular y la misma altura. Llena el cono de arroz y viértelo en el cilindro. Cuenta los vaciados: necesitarás unos 3. Después abre un brik de zumo vacío y aplánalo para ver sus seis caras; mídelas y súmalas para obtener su área.
Fórmulas y definiciones clave
- Ortoedro: AT = 2(lb + bh + hl), AL = 2h(l + b), V = lbh
- Cubo: AT = 6a², AL = 4a², V = a³
- Cilindro: AL = 2πrh, AT = 2πr(r + h), V = πr²h
- Cono: l = √(r² + h²), AL = πrl, AT = πr(l + r), V = ⅓πr²h
- Pirámide: V = ⅓ × área de la base × h; pirámide cuadrada AT = a² + 2a × apotema
- Esfera: A = 4πr², V = ⁴⁄₃πr³
- Semiesfera: AL = 2πr², AT = 3πr², V = ⅔πr³
Ejemplos resueltos
1. Una caja mide 5 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. Halla su área total y su volumen.
AT = 2(5×4 + 4×3 + 3×5) = 2(20 + 12 + 15) = 94 cm². Volumen = 5 × 4 × 3 = 60 cm³.
2. Un cubo tiene lado 6 cm. Halla su área lateral, su área total y su volumen.
AL = 4 × 36 = 144 cm². AT = 6 × 36 = 216 cm². Volumen = 6³ = 216 cm³.
3. Un cilindro tiene radio 7 cm y altura 10 cm. Halla su área lateral, su área total y su volumen. (π = 22/7)
AL = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 cm². Las dos bases = 2 × 22/7 × 49 = 308 cm². AT = 748 cm². Volumen = 22/7 × 49 × 10 = 1540 cm³.
4. Un cono tiene radio 7 cm y altura 24 cm. Halla su generatriz, su área lateral, su área total y su volumen. (π = 22/7)
l = √(49 + 576) = √625 = 25 cm. AL = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm². AT = 550 + 154 = 704 cm². Volumen = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232 cm³.
5. Una pirámide cuadrada tiene lado de la base 10 m y altura 12 m. Halla su área total y su volumen.
Altura inclinada = √(12² + 5²) = 13 m. Cada triángulo = ½ × 10 × 13 = 65 m², las cuatro caras = 260 m². AT = 100 + 260 = 360 m². Volumen = ⅓ × 100 × 12 = 400 m³.
6. Halla el área y el volumen de una bola de radio 7 cm, y el área total de una semiesfera maciza del mismo radio. (π = 22/7)
Esfera: 4 × 22/7 × 49 = 616 cm²; volumen = ⁴⁄₃ × 22/7 × 343 ≈ 1437.33 cm³. AT de la semiesfera = 3πr² = 3 × 154 = 462 cm².
7. Un depósito cilíndrico de agua tiene radio 1.4 m y altura 2 m. ¿Cuántos litros contiene? (π = 22/7)
Volumen = 22/7 × 1.96 × 2 = 12.32 m³. 1 m³ = 1000 L, así que contiene 12320 litros.
Errores comunes
- Usar la altura h en lugar de la generatriz l en el área lateral del cono, πrl.
- Mezclar unidades, por ejemplo el radio en m y la altura en cm, o dar el volumen en cm² en vez de cm³.
- Olvidar el círculo plano en el área total de una semiesfera maciza (es 3πr², no 2πr²).
- Olvidar el ⅓ en el volumen de un cono o de una pirámide.