Oberfläche und Volumen: Was bedeuten sie?
Oberfläche = Flächeninhalt aller äußeren Flächen zusammen. Einheit: cm² oder m². Volumen = Platz im Inneren. Einheit: cm³ oder m³. 1 Liter = 1000 cm³, und 1 m³ = 1000 Liter.
Mantelfläche = nur die Seite, ohne Deckel und Boden. Gesamte Oberfläche = alles, was außen ist.
Quader und Würfel
Ein Quader hat die Länge l, die Breite b und die Höhe h. Er hat 6 Rechteckflächen in 3 gleichen Paaren.
- Gesamte Oberfläche = 2(lb + bh + hl)
- Mantelfläche (4 Wände) = 2h(l + b)
- Volumen = l × b × h
Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seiten a lang sind: Gesamte Oberfläche = 6a², Mantelfläche = 4a², Volumen = a³.
Zylinder
Ein Zylinder hat zwei Kreisflächen (Radius r) und die Höhe h. Rollst du die Seite aus, ist sie ein Rechteck mit 2πr mal h.
- Mantelfläche = 2πrh
- Gesamte Oberfläche = 2πrh + 2πr² = 2πr(r + h)
- Volumen = Grundfläche × Höhe = πr²h
Kegel
Ein gerader Kreiskegel hat eine Kreisfläche als Grundfläche (Radius r), die Höhe h (von der Spitze senkrecht nach unten zum Mittelpunkt) und die Mantellinie l (von der Spitze zum Rand der Grundfläche). Mit dem Satz des Pythagoras gilt l = √(r² + h²).
- Mantelfläche = πrl
- Gesamte Oberfläche = πrl + πr² = πr(l + r)
- Volumen = ⅓πr²h (ein Drittel des passenden Zylinders)
Pyramide
Eine Pyramide hat ein ebenes Vieleck als Grundfläche und Dreiecksflächen, die sich in einer Spitze treffen. Für eine quadratische Pyramide mit der Grundseite a und der Höhe h gilt:
- Höhe jeder Dreiecksfläche (Seitenhöhe) = √(h² + (a/2)²)
- Mantelfläche = 4 × ½ × a × Seitenhöhe
- Gesamte Oberfläche = a² + Mantelfläche
- Volumen = ⅓ × Grundfläche × Höhe = ⅓a²h
Diese ⅓-Regel gilt für jede Pyramide und jeden Kegel: Volumen = ⅓ × Grundfläche × Höhe.
Kugel und Halbkugel
Eine Kugel ist ein vollkommen runder Ball mit dem Radius r. Eine Halbkugel ist ein halber Ball.
- Kugel: Oberfläche = 4πr², Volumen = ⁴⁄₃πr³
- Halbkugel: gekrümmte Fläche = 2πr², gesamte Oberfläche = 3πr² (gekrümmte Fläche + ebener Kreis), Volumen = ⅔πr³
Eine oben offene Schale hat nur den gekrümmten Teil, also 2πr².
Aufbau der Prüfung
In der CBSE-Prüfung der Klasse 9 (2026-27) bringt die Körperberechnung 14 Punkte. Typische Aufgaben: die Stoffmenge für ein Zelt (Kegel), die Kosten für das Streichen von Wänden (Mantelfläche eines Quaders), das Fassungsvermögen eines Tanks in Litern und das Blech für eine Schale (Halbkugel). Rechne zuerst die Einheiten um und schreibe immer cm² oder cm³ dazu.
Probiere es zu Hause aus
Rolle einen Papierkegel und einen Papierzylinder mit gleicher Kreisgrundfläche und gleicher Höhe. Fülle den Kegel mit Reis und schütte ihn in den Zylinder. Zähle die Güsse: Du brauchst etwa 3. Schneide dann einen leeren Saftkarton auf und falte ihn flach, damit du seine sechs Flächen siehst. Miss sie und addiere sie, dann hast du seine Oberfläche.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Quader: O = 2(lb + bh + hl), M = 2h(l + b), V = lbh
- Würfel: O = 6a², M = 4a², V = a³
- Zylinder: M = 2πrh, O = 2πr(r + h), V = πr²h
- Kegel: l = √(r² + h²), M = πrl, O = πr(l + r), V = ⅓πr²h
- Pyramide: V = ⅓ × Grundfläche × h; quadratische Pyramide O = a² + 2a × Seitenhöhe
- Kugel: O = 4πr², V = ⁴⁄₃πr³
- Halbkugel: gekrümmte Fläche = 2πr², O = 3πr², V = ⅔πr³
Gelöste Beispiele
1. Eine Schachtel ist 5 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Berechne ihre gesamte Oberfläche und ihr Volumen.
O = 2(5×4 + 4×3 + 3×5) = 2(20 + 12 + 15) = 94 cm². Volumen = 5 × 4 × 3 = 60 cm³.
2. Ein Würfel hat die Seitenlänge 6 cm. Berechne seine Mantelfläche, seine gesamte Oberfläche und sein Volumen.
M = 4 × 36 = 144 cm². O = 6 × 36 = 216 cm². Volumen = 6³ = 216 cm³.
3. Ein Zylinder hat den Radius 7 cm und die Höhe 10 cm. Berechne seine Mantelfläche, seine gesamte Oberfläche und sein Volumen. (π = 22/7)
M = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 cm². Beide Kreisflächen = 2 × 22/7 × 49 = 308 cm². O = 748 cm². Volumen = 22/7 × 49 × 10 = 1540 cm³.
4. Ein Kegel hat den Radius 7 cm und die Höhe 24 cm. Berechne seine Mantellinie, seine Mantelfläche, seine gesamte Oberfläche und sein Volumen. (π = 22/7)
l = √(49 + 576) = √625 = 25 cm. M = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm². O = 550 + 154 = 704 cm². Volumen = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232 cm³.
5. Eine quadratische Pyramide hat die Grundseite 10 m und die Höhe 12 m. Berechne ihre gesamte Oberfläche und ihr Volumen.
Seitenhöhe = √(12² + 5²) = 13 m. Jedes Dreieck = ½ × 10 × 13 = 65 m², vier Flächen = 260 m². O = 100 + 260 = 360 m². Volumen = ⅓ × 100 × 12 = 400 m³.
6. Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Balls mit dem Radius 7 cm und die gesamte Oberfläche einer massiven Halbkugel mit demselben Radius. (π = 22/7)
Kugel: 4 × 22/7 × 49 = 616 cm²; Volumen = ⁴⁄₃ × 22/7 × 343 ≈ 1437.33 cm³. Halbkugel O = 3πr² = 3 × 154 = 462 cm².
7. Ein zylindrischer Wassertank hat den Radius 1.4 m und die Höhe 2 m. Wie viele Liter fasst er? (π = 22/7)
Volumen = 22/7 × 1.96 × 2 = 12.32 m³. 1 m³ = 1000 L, also fasst er 12320 Liter.
Häufige Fehler
- Die Höhe h statt der Mantellinie l in der Mantelfläche des Kegels πrl benutzen.
- Einheiten mischen, zum Beispiel den Radius in m und die Höhe in cm angeben, oder das Volumen in cm² statt in cm³ schreiben.
- Den ebenen Kreis bei der gesamten Oberfläche einer massiven Halbkugel vergessen (3πr², nicht 2πr²).
- Das ⅓ beim Volumen von Kegel oder Pyramide vergessen.