Aire et volume : ce que ça veut dire
Aire = surface totale de toutes les faces extérieures. Unité : cm² ou m². Volume = espace à l'intérieur. Unité : cm³ ou m³. 1 litre = 1000 cm³, et 1 m³ = 1000 litres.
Aire latérale (ou courbe) = seulement le côté, sans le haut ni le bas. Aire totale = tout l'extérieur.
Pavé droit et cube
Un pavé a une longueur l, une largeur b et une hauteur h. Il a 6 faces rectangulaires en 3 paires identiques.
- Aire totale = 2(lb + bh + hl)
- Aire latérale (4 murs) = 2h(l + b)
- Volume = l × b × h
Un cube est un pavé dont tous les côtés valent a : aire totale = 6a², aire latérale = 4a², volume = a³.
Cylindre
Un cylindre a deux bases circulaires (rayon r) et une hauteur h. Déroule son côté : c'est un rectangle de 2πr sur h.
- Aire latérale = 2πrh
- Aire totale = 2πrh + 2πr² = 2πr(r + h)
- Volume = aire de la base × hauteur = πr²h
Cône
Un cône droit a une base circulaire (rayon r), une hauteur h (de la pointe tout droit jusqu'au centre) et une génératrice l (de la pointe au bord de la base). Par Pythagore, l = √(r² + h²).
- Aire latérale = πrl
- Aire totale = πrl + πr² = πr(l + r)
- Volume = ⅓πr²h (un tiers du cylindre correspondant)
Pyramide
Une pyramide a une base polygonale plate et des faces triangulaires qui se rejoignent en une pointe. Pour une pyramide à base carrée de côté a et de hauteur h :
- Hauteur de chaque face triangulaire = √(h² + (a/2)²)
- Aire latérale = 4 × ½ × a × cette hauteur de face
- Aire totale = a² + aire latérale
- Volume = ⅓ × aire de la base × hauteur = ⅓a²h
Cette règle du ⅓ marche pour toutes les pyramides et tous les cônes : volume = ⅓ × aire de la base × hauteur.
Sphère et demi-sphère
Une sphère est une balle parfaite de rayon r. Une demi-sphère est une demi-balle.
- Sphère : aire = 4πr², volume = ⁴⁄₃πr³
- Demi-sphère : partie courbe = 2πr², aire totale = 3πr² (partie courbe + disque plat), volume = ⅔πr³
Un bol creux ouvert en haut n'utilise que la partie courbe, 2πr².
Ce qui tombe à l'examen
La mesure des solides vaut 14 points en classe de 9e année CBSE (2026-27). Questions fréquentes : trouver la toile d'une tente (cône), le coût de peinture des murs (aire latérale d'un pavé), la capacité d'un réservoir en litres et la tôle d'un bol (demi-sphère). Convertis toujours les unités d'abord et écris cm² ou cm³.
À essayer à la maison
Roule un cône en papier et un cylindre en papier avec la même base circulaire et la même hauteur. Remplis le cône de riz et verse-le dans le cylindre. Compte les versements : il t'en faudra environ 3. Ensuite, découpe une brique de jus vide et aplatis-la pour voir ses six faces ; mesure-les et additionne pour obtenir son aire.
Formules et définitions clés
- Pavé : A totale = 2(lb + bh + hl), A latérale = 2h(l + b), V = lbh
- Cube : A totale = 6a², A latérale = 4a², V = a³
- Cylindre : A latérale = 2πrh, A totale = 2πr(r + h), V = πr²h
- Cône : l = √(r² + h²), A latérale = πrl, A totale = πr(l + r), V = ⅓πr²h
- Pyramide : V = ⅓ × aire de la base × h ; pyramide à base carrée A totale = a² + 2a × hauteur de face
- Sphère : A = 4πr², V = ⁴⁄₃πr³
- Demi-sphère : A courbe = 2πr², A totale = 3πr², V = ⅔πr³
Exemples résolus
1. Une boîte mesure 5 cm de long, 4 cm de large et 3 cm de haut. Trouve son aire totale et son volume.
A totale = 2(5×4 + 4×3 + 3×5) = 2(20 + 12 + 15) = 94 cm². Volume = 5 × 4 × 3 = 60 cm³.
2. Un cube a un côté de 6 cm. Trouve son aire latérale, son aire totale et son volume.
A latérale = 4 × 36 = 144 cm². A totale = 6 × 36 = 216 cm². Volume = 6³ = 216 cm³.
3. Un cylindre a un rayon de 7 cm et une hauteur de 10 cm. Trouve son aire latérale, son aire totale et son volume. (π = 22/7)
A latérale = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 cm². Deux bases = 2 × 22/7 × 49 = 308 cm². A totale = 748 cm². Volume = 22/7 × 49 × 10 = 1540 cm³.
4. Un cône a un rayon de 7 cm et une hauteur de 24 cm. Trouve sa génératrice, son aire latérale, son aire totale et son volume. (π = 22/7)
l = √(49 + 576) = √625 = 25 cm. A latérale = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm². A totale = 550 + 154 = 704 cm². Volume = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232 cm³.
5. Une pyramide à base carrée a un côté de base de 10 m et une hauteur de 12 m. Trouve son aire totale et son volume.
Hauteur de face = √(12² + 5²) = 13 m. Chaque triangle = ½ × 10 × 13 = 65 m², quatre faces = 260 m². A totale = 100 + 260 = 360 m². Volume = ⅓ × 100 × 12 = 400 m³.
6. Trouve l'aire et le volume d'une balle de rayon 7 cm, puis l'aire totale d'une demi-sphère pleine de même rayon. (π = 22/7)
Sphère : 4 × 22/7 × 49 = 616 cm² ; volume = ⁴⁄₃ × 22/7 × 343 ≈ 1437.33 cm³. A totale de la demi-sphère = 3πr² = 3 × 154 = 462 cm².
7. Un réservoir d'eau cylindrique a un rayon de 1.4 m et une hauteur de 2 m. Combien de litres contient-il ? (π = 22/7)
Volume = 22/7 × 1.96 × 2 = 12.32 m³. 1 m³ = 1000 L, donc il contient 12320 litres.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la hauteur h au lieu de la génératrice l dans l'aire latérale du cône πrl.
- Mélanger les unités, par exemple un rayon en m et une hauteur en cm, ou donner un volume en cm² au lieu de cm³.
- Oublier le disque plat dans l'aire totale d'une demi-sphère pleine (3πr², pas 2πr²).
- Oublier le ⅓ dans le volume d'un cône ou d'une pyramide.