द्विघात त्रिपद क्या है?
त्रिपद में तीन पद होते हैं। द्विघात का मतलब है कि सबसे बड़ी घात x² है। इसलिए x² + 5x + 6 एक द्विघात त्रिपद है।
इसका सामान्य रूप है ax² + bx + c। यहाँ a, x² के आगे की संख्या है, b, x के आगे की संख्या है और c अकेली संख्या है।
गुणनखंडन करना यानी व्यंजक को सरल कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में लिखना। यह फैलाने (expand करने) का उलटा है।
बीजगणित टाइलों से देखो
बड़ी वर्ग टाइल का क्षेत्रफल x² है। पट्टी का क्षेत्रफल x है। छोटे वर्ग का क्षेत्रफल 1 है। x² + 5x + 6 के लिए 1 बड़ा वर्ग, 5 पट्टियाँ और 6 छोटे वर्ग लो।
इन्हें जोड़कर एक आयत बनाओ। चौड़ाई x + 3 और ऊँचाई x + 2 आती है। आयत का क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊँचाई, इसलिए
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
अगर टाइलों से आयत न बने, तो उस त्रिपद के पूर्ण संख्याओं वाले गुणनखंड नहीं होते।
x² + bx + c का गुणनखंडन
(x + m)(x + n) को फैलाओ तो x² + (m + n)x + mn मिलता है। इसलिए हमें दो संख्याएँ m और n चाहिए जिनके लिए m × n = c और m + n = b हो।
- c का गुणनफल देने वाली संख्याओं के जोड़े लिखो।
- वह जोड़ा चुनो जिसका योग b हो।
- (x + m)(x + n) लिखो।
- फैलाकर जाँच करो।
उदाहरण: x² + 7x + 12। 12 के जोड़े: 1 और 12, 2 और 6, 3 और 4। केवल 3 + 4 = 7। इसलिए (x + 3)(x + 4)।
चिह्न (signs)
| c | b | दोनों संख्याएँ | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| + | + | दोनों + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | दोनों − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | एक + और एक −; बड़ी संख्या + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | एक + और एक −; बड़ी संख्या − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
c धनात्मक हो तो दोनों संख्याओं के चिह्न एक जैसे होते हैं। c ऋणात्मक हो तो चिह्न अलग-अलग होते हैं।
ax² + bx + c का गुणनखंडन (मध्य पद विभाजन)
जब a, 1 नहीं है, तो a और c को गुणा करो। ऐसी दो संख्याएँ खोजो जिनका गुणनफल a × c और योग b हो। उनसे मध्य पद को तोड़ो। फिर जोड़ों में गुणनखंड निकालो।
उदाहरण: 2x² + 7x + 3। a × c = 6। संख्याएँ 6 और 1: गुणनफल 6 और योग 7।
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)।
टाइलें भी यही बताती हैं: 2 बड़े वर्ग, 7 पट्टियाँ और 3 छोटे वर्ग मिलकर x + 3 और 2x + 1 भुजाओं वाला आयत बनाते हैं।
विशेष त्रिपद
पूर्ण वर्ग: x² + 2mx + m² = (x + m)² और x² − 2mx + m² = (x − m)²। उदाहरण: x² + 10x + 25 = (x + 5)²। टाइलों से वर्ग बनता है।
वर्गों का अंतर: x² − m² = (x − m)(x + m)। इसमें बीच का पद नहीं होता, क्योंकि +m और −m कट जाते हैं।
हमेशा जाँचो: कोष्ठक फैलाओ। मूल व्यंजक वापस मिलना चाहिए।
खुद करके देखो
3D में a = 1 रखो और p, q बदलो। देखने से पहले अनुमान लगाओ कि त्रिपद क्या होगा, फिर स्क्रीन पर पढ़ो। घर पर x² के लिए कागज़ का वर्ग और पट्टियाँ व छोटे वर्ग गत्ते से काटो। x² + 4x + 3 का आयत बनाओ और उसकी भुजाएँ पढ़ो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: m × n = c और m + n = b वाली m, n खोजो
- ax² + bx + c: m × n = a × c और m + n = b वाली m, n खोजो, फिर तोड़कर जोड़ों में बाँटो
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
हल किए गए उदाहरण
1. x² + 7x + 12 का गुणनखंडन करो।
दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल 12 और योग 7 हो। वे 3 और 4 हैं। इसलिए x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)।
2. x² − 8x + 15 का गुणनखंडन करो।
c धनात्मक और b ऋणात्मक है, इसलिए दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हैं। गुणनफल 15, योग −8: −3 और −5। इसलिए (x − 3)(x − 5)।
3. x² + 3x − 10 का गुणनखंडन करो।
c ऋणात्मक है, इसलिए एक संख्या + और एक − है। गुणनफल −10, योग 3: +5 और −2। इसलिए (x + 5)(x − 2)।
4. x² − x − 20 का गुणनखंडन करो।
गुणनफल −20, योग −1: −5 और +4। इसलिए (x − 5)(x + 4)।
5. 2x² + 7x + 3 का गुणनखंडन करो।
a × c = 6। गुणनफल 6 और योग 7 वाली संख्याएँ: 6 और 1। 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)।
6. 6x² − 5x − 6 का गुणनखंडन करो।
a × c = −36। गुणनफल −36 और योग −5: −9 और +4। 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2)।
7. x² + 10x + 25 का गुणनखंडन करो।
25 = 5 × 5 और 5 + 5 = 10। इसलिए x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)²।
8. x² − 5x + 6 = 0 हल करो।
गुणनखंड करो: (x − 2)(x − 3) = 0। गुणनफल तभी शून्य होता है जब कोई गुणनखंड शून्य हो, इसलिए x = 2 या x = 3।
आम गलतियाँ
- ऐसी संख्याएँ चुन लेना जिनका गुणनफल c है, पर यह जाँचना भूल जाना कि योग b है या नहीं।
- चिह्न गलत लगाना। c ऋणात्मक हो तो दोनों संख्याओं के चिह्न अलग होने चाहिए।
- जब a, 1 नहीं है तब a और c को गुणा करना भूल जाना।
- अंत में फैलाकर उत्तर की जाँच न करना।