South 고등학교 2학년 Mathematics and Culture
अध्याय: 4
1. Art and mathematics
Maths in music · Maths in visual art · Maths in literature · Maths in film
- कला में गणित: संगीत, चित्र, टाइलें, कविता और फ़िल्म – कला में गणित भरा है। संगीत के सुर तार की लंबाई के अनुपात हैं (आधी लंबाई = सप्तक, 2/3 लंबाई = पंचम)। चित्रकार परिप्रेक्ष्य और स्वर्णिम अनुपात इस्तेमाल करते हैं। टाइलें तभी जुड़ती हैं जब कोनों के कोण मिलकर 360° बनें। कविता में ध्वनि का पैटर्न दोहराया जाता है। फ़िल्म में हर सेकंड 24 तस्वीरें होती हैं।
2. Life and mathematics
Maths in sport · Maths in games · Maths in digital technology · Maths of voting
- खेल में गणित – गणित खिलाड़ियों और आयोजकों के काम आता है। चाल v और कोण θ पर फेंकी गेंद R = v² sin 2θ ÷ g दूर जाती है (हवा के बिना 45° पर सबसे अधिक)। माध्य, माध्यिका, बैटिंग एवरेज और स्ट्राइक रेट प्रदर्शन को संक्षेप में बताते हैं। समय-सारिणी में मैच गिने जाते हैं: n टीमों की राउंड रॉबिन में n(n−1)/2 मैच, नॉकआउट में n−1।
- खेल सिद्धांत: जब दूसरे भी चुनें, तब सबसे अच्छा फ़ैसला – खेल सिद्धांत (game theory) ऐसे फ़ैसलों का अध्ययन है जिनमें आपका नतीजा दूसरों के चुनाव पर भी निर्भर हो। पे-ऑफ़ मैट्रिक्स हर चुनाव-जोड़ी पर हर खिलाड़ी का लाभ दिखाता है। अधीन (dominated) रणनीति हमेशा बदतर होती है, उसे हटा दो। नैश संतुलन वह जोड़ी है जहाँ कोई खिलाड़ी अकेले बदलकर फ़ायदा नहीं ले सकता; कैदी की दुविधा दिखाती है कि यह सबके लिए सहयोग से बुरा भी हो सकता है। शून्य-योग खेल में सुरक्षित (मैक्सिमिन/मिनिमैक्स) रणनीतियाँ बराबर हों तो सैडल बिंदु मिलता है; नहीं तो खिलाड़ी मिश्रित रणनीति अपनाते हैं, जो ग्राफ़ की निचली किनारी के सबसे ऊँचे बिंदु से मिलती है।
3. Society and mathematics
Ethnomathematics and architecture · Maths of braille · Data from mass media · Decision-making for value consumption
- क्रमचय और संचय – इस अध्याय का मूल है: बिना सूची बनाए गिनना। गणना का मूल सिद्धांत कहता है: यदि एक काम m तरीकों से और उसके बाद दूसरा n तरीकों से हो सकता है, तो दोनों मिलकर m × n तरीकों से होते हैं। n! (n क्रमगुणित) = 1 × 2 × … × n, और 0! = 1। क्रमचय एक व्यवस्था है, जिसमें क्रम मायने रखता है: n भिन्न वस्तुओं में से r को व्यवस्थित करने के तरीके ⁿPᵣ = n!/(n − r)!। संचय एक चयन है, जिसमें क्रम मायने नहीं रखता: ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!)। हर चयन को r! तरीकों से सजा सकते हैं, इसलिए ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!। उपयोगी तथ्य: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ और ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ। कुछ वस्तुएँ समान हों तो हर दोहराव की संख्या के क्रमगुणित से भाग दें।
- डेटा विश्लेषण – डेटा विश्लेषण यानी कच्चे आँकड़ों को जवाब में बदलना। इसका एक चक्र है: सवाल पूछो, डेटा इकट्ठा करो, साफ़ करो (ग़लती, दोहराव और खाली जवाब हटाओ), व्यवस्थित करो, माध्य, माध्यिका, परास और पैटर्न से विश्लेषण करो, सही चार्ट बनाओ और सावधानी से निष्कर्ष निकालो। बाहरी मान, छोटे नमूने और पक्षपात पर नज़र रखो, और याद रखो कि दो चीज़ों का साथ बढ़ना (सहसंबंध) यह साबित नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है। डेटा को सुरक्षित रखना और अनुमति से इस्तेमाल करना भी ज़रूरी है।
- निर्णय लेना: सही चुनाव कैसे करें, कदम-दर-कदम – निर्णय लेना यानी दो या ज़्यादा विकल्पों में से सबसे अच्छा चुनना। अच्छा निर्णय कुछ चरणों में होता है: समस्या पहचानो, विकल्प खोजो, मानदंड तय करो, हर मानदंड को महत्व (weight) दो, अंक दो, चुनो, काम करो और फिर नतीजे की समीक्षा करो। डिसीजन मैट्रिक्स इसे आसान गिनती में बदल देता है।
4. Environment and mathematics
Food and diet data · Air pollution data · Desertification data · Biodiversity data
- डेटा विश्लेषण – डेटा विश्लेषण यानी कच्चे आँकड़ों को जवाब में बदलना। इसका एक चक्र है: सवाल पूछो, डेटा इकट्ठा करो, साफ़ करो (ग़लती, दोहराव और खाली जवाब हटाओ), व्यवस्थित करो, माध्य, माध्यिका, परास और पैटर्न से विश्लेषण करो, सही चार्ट बनाओ और सावधानी से निष्कर्ष निकालो। बाहरी मान, छोटे नमूने और पक्षपात पर नज़र रखो, और याद रखो कि दो चीज़ों का साथ बढ़ना (सहसंबंध) यह साबित नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है। डेटा को सुरक्षित रखना और अनुमति से इस्तेमाल करना भी ज़रूरी है।