संगीत में गणित: सुरों के अनुपात
गिटार या सितार का तार हिलने पर आवाज़ देता है। एक सेकंड में जितनी बार तार हिलता है, उसे आवृत्ति (frequency) कहते हैं। आवृत्ति ज़्यादा तो सुर ऊँचा।
छोटा तार लंबे तार से तेज़ हिलता है। नियम सीधा है: लंबाई घटे तो सुर ऊँचा होता है। आधी लंबाई पर आवृत्ति दोगुनी हो जाती है। दोनों सुर एक जैसे लगते हैं, बस एक ऊँचा होता है। इस जोड़ी को सप्तक (octave) कहते हैं। इसका अनुपात 2 : 1 है।
दो-तिहाई लंबाई पर आवृत्ति 3/2 = 1.5 गुना होती है। इसे पंचम (fifth) कहते हैं। इसका अनुपात 3 : 2 है। छोटे पूर्ण संख्याओं वाले अनुपात के सुर साथ में मीठे लगते हैं। इसलिए संगीत का स्वर-समूह अनुपातों से बनता है।
उदाहरण: 440 Hz का सुर (वाद्य-वृंद इसी पर ट्यून होते हैं)। एक सप्तक ऊपर 880 Hz। पंचम ऊपर 660 Hz।
चित्रकला में गणित: परिप्रेक्ष्य (perspective)
सपाट कागज़ पर असली गहराई नहीं होती। चित्रकार परिप्रेक्ष्य से आँख को भ्रम देते हैं। विचार यह है: दूर की चीज़ें छोटी दिखती हैं। 10 मीटर दूर का खंभा, 5 मीटर दूर वाले उसी खंभे से आधा दिखता है। गणित में: दिखने वाला आकार दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
आपसे दूर जाती समानांतर रेखाएँ, जैसे रेल की दो पटरियाँ, पास आती दिखती हैं और क्षितिज पर एक बिंदु पर मिलती लगती हैं। यह विलोप बिंदु (vanishing point) है। क्षितिज देखने वाले की आँख की ऊँचाई पर होता है। आँख नीची या ऊँची हो तो चित्र बदल जाता है, पर रेखाएँ फिर भी क्षितिज पर मिलती हैं।
परिप्रेक्ष्य में चित्र बनाना यानी रेखाओं को एक बिंदु तक खींचना और अनुपात सही रखना।
चित्रकला में गणित: स्वर्णिम अनुपात (golden ratio)
एक रेखा को दो भागों में बाँटिए: a (लंबा) और b (छोटा), ऐसे कि पूरी ÷ लंबा = लंबा ÷ छोटा। यह ख़ास अनुपात लगभग 1.618 है और स्वर्णिम अनुपात (चिह्न φ, फ़ाई) कहलाता है। यह (1 + √5) ÷ 2 के बराबर है।
इसे फ़िबोनाची संख्याओं से पाया जा सकता है: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... हर संख्या पिछली दो का योग है। किसी संख्या को पिछली से भाग दीजिए: 8 ÷ 5 = 1.6, 13 ÷ 8 = 1.625, 21 ÷ 13 = 1.615। उत्तर 1.618 के पास आते जाते हैं।
फ़िबोनाची भुजाओं वाले वर्ग मिलकर सर्पिल बनाते हैं। कुछ कलाकार और डिज़ाइनर इस अनुपात के आयत पसंद करते हैं क्योंकि वे संतुलित दिखते हैं। यह एक सहायक मार्गदर्शन है, कठोर नियम नहीं। बहुत से महान चित्र इसे नहीं अपनाते।
विस्तार से पढ़ें: स्वर्णिम अनुपात।
कला में आकार: टेसेलेशन (tessellations)
टेसेलेशन (टाइलिंग) में आकारों से समतल सतह को ढका जाता है, बिना खाली जगह और बिना एक-दूसरे पर चढ़े। यह फ़र्श की टाइलों, शहद के छत्ते, रंगोली, जाली और इस्लामी व भारतीय नक़्क़ाशी में दिखता है।
नियम: हर कोने पर कोणों का योग ठीक 360° होना चाहिए। समबाहु त्रिभुज: हर कोण 60° और 6 × 60° = 360°। वर्ग: 4 × 90° = 360°। सम षट्भुज: 3 × 120° = 360°। सम पंचभुज: हर कोण 108°, और 360 ÷ 108 पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए अकेले पंचभुज खाली जगह छोड़ते हैं।
मिले-जुले आकार भी चलते हैं। सम अष्टभुज का कोण 135° है। दो अष्टभुज और एक वर्ग: 135° + 135° + 90° = 360°।
साहित्य में गणित: कहानी और कविता के पैटर्न
लेखक ऐसे पैटर्न बरतते हैं जिन्हें गिना जा सकता है। कविता में तुक की योजना अक्षरों से लिखी जाती है: क ख क ख यानी पंक्ति 1 और 3 की तुक मिलती है, और पंक्ति 2 और 4 की। हाइकु में अक्षर गिने जाते हैं: 5, 7, 5। गाने का मुखड़ा बार-बार दोहराया जाता है।
कहानियों में भी पैटर्न हैं: शुरुआत, बीच और अंत (तीन भाग), तीन का नियम (तीन कोशिशें, तीन इच्छाएँ), और लोककथाओं में दोहराई जाने वाली पंक्तियाँ। पैटर्न वह है जो किसी नियम से दोहराया जाए। नियम खोजना ही गणित का दिल है।
फ़िल्म में गणित: एनिमेशन की ज्यामिति
फ़िल्म स्थिर तस्वीरों का समूह है, जिन्हें फ्रेम कहते हैं। इन्हें एक के बाद एक बहुत तेज़ दिखाया जाता है। हमारी आँख इन्हें जोड़कर गति बना लेती है। सिनेमा में लगभग 24 फ्रेम प्रति सेकंड (fps) होते हैं। इसलिए 1 मिनट में 24 × 60 = 1,440 फ्रेम।
एनिमेटर ज्यामिति इस्तेमाल करते हैं: उछलती गेंद एक वक्र पर चलती है और हर फ्रेम में थोड़ी खिसकती है। कंप्यूटर एनिमेशन में निर्देशांक और कोण काम आते हैं। चित्र को खिसकाने, घुमाने, बड़ा-छोटा करने या उलटने के लिए कंप्यूटर रूपांतरण (translation, rotation, scaling, reflection) इस्तेमाल करता है।
करके देखिए: घर में गणित खोजिए
- ऊपर 3D में तार की लंबाई खिसकाइए। जाँचिए: लंबाई 6 पर सुर ×2 आता है।
- सीधी सड़क या रेलवे प्लैटफ़ॉर्म पर खड़े होकर किनारे की दो रेखाएँ देखिए। वे कहाँ मिलती हैं?
- पैमाने से विज़िटिंग कार्ड या किताब की लंबी और छोटी भुजा नापिए। भाग दीजिए। क्या उत्तर 1.6 के पास है?
- फ़र्श की टाइल या रंगोली देखिए। कौन-सा आकार दोहराया गया है? उसके कोने और कोण गिनिए।
- कोई गाना चुनिए और उसकी पंक्तियों के तुक-अक्षर लिखिए: क, ख, क, ख...
- कॉपी के कोने में 10 पन्नों पर एक स्टिक-फ़िगर बनाइए, हर पन्ने पर थोड़ा खिसकाइए। पन्ने तेज़ी से पलटिए!
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- सुर (आवृत्ति) ∝ 1 ÷ तार की लंबाई
- सप्तक = 2 : 1, पंचम = 3 : 2
- दिखने वाला आकार ∝ 1 ÷ दूरी
- स्वर्णिम अनुपात φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618
- टाइलिंग का नियम: एक बिंदु के कोणों का योग 360°
- फ़िल्म के फ्रेम = फ्रेम प्रति सेकंड × सेकंड
हल किए गए उदाहरण
1. एक तार 60 cm लंबा है। उसे ऐसे दबाया गया कि 40 cm हिस्सा काँपता है। नए सुर और पुराने सुर का अनुपात क्या है? पुराना सुर 440 Hz हो तो नई आवृत्ति कितनी होगी?
अनुपात = 60 ÷ 40 = 1.5 (पंचम)। नई आवृत्ति = 440 × 1.5 = 660 Hz।
2. फ़ोटो में 5 m दूर खड़े होने पर पेड़ 4 cm ऊँचा दिखता है। उसी कैमरे से 20 m दूर से वह कितना ऊँचा दिखेगा?
आकार दूरी के व्युत्क्रमानुपाती है। दूरी 20 ÷ 5 = 4 गुना हुई, इसलिए आकार 4 ÷ 4 = 1 cm।
3. 26 cm के फ़ीते को स्वर्णिम अनुपात में काटना है। लंबा और छोटा भाग ज्ञात कीजिए।
लंबा भाग = 26 ÷ 1.618 ≈ 16.1 cm। छोटा भाग = 26 − 16.1 = 9.9 cm। जाँच: 26 ÷ 16.1 ≈ 1.615 और 16.1 ÷ 9.9 ≈ 1.626। दोनों लगभग 1.62।
4. क्या सम पंचभुज अकेले फ़र्श को ढक सकते हैं? कोणों से बताइए।
सम पंचभुज का आंतरिक कोण 108° है। एक कोने पर कोणों की पूर्ण संख्या से 360° बनना चाहिए। 360 ÷ 108 = 3.33, पूर्ण संख्या नहीं। इसलिए खाली जगह बचेगी। नहीं।
5. एक फ़िल्म 90 मिनट की है और 24 फ्रेम प्रति सेकंड पर चलती है। कुल कितने फ्रेम हैं?
सेकंड = 90 × 60 = 5,400। फ्रेम = 5,400 × 24 = 129,600।
6. 12 पंक्तियों की कविता में क ख क ख पैटर्न तीन बार दोहराया गया है। कितनी पंक्तियाँ ध्वनि क पर ख़त्म होती हैं?
हर क ख क ख समूह में 2 पंक्तियाँ क की हैं। तीन समूह: 3 × 2 = 6 पंक्तियाँ।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि लंबा तार ऊँचा सुर देता है। उलटा है: छोटा तार, ऊँचा सुर।
- यह सोचना कि चित्र में दूर की चीज़ें सच में छोटी हैं। परिप्रेक्ष्य आँख का दिखना है, असली आकार नहीं।
- यह मान लेना कि हर महान चित्र में स्वर्णिम अनुपात है। यह कई मार्गदर्शनों में से एक है।
- 360° का नियम भूलकर कह देना कि पंचभुज या वृत्त बिना खाली जगह के फ़र्श ढक लेते हैं।