कला में गणित

सुनहरा अनुपात

दो लंबाइयाँ a (बड़ी) और b (छोटी) सुनहरे अनुपात में हैं अगर a ÷ b = (a + b) ÷ a। इस संख्या को φ ("फाई") कहते हैं और यह (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618 है। यह अपरिमेय है, इसके दशमलव कभी खत्म नहीं होते। साथ ही φ² = φ + 1।

सुनहरे आयत में लंबी ÷ छोटी भुजा = φ। छोटी भुजा जितना वर्ग काटने पर जो बचे वह फिर सुनहरा आयत है, छोटा पर वही आकार। इसे दोहराने से वर्गों की कड़ी बनती है, और उनमें खींची चौथाई-वृत्त चापें सुनहरा सर्पिल बनाती हैं। फिबोनाची संख्याओं (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...) के पड़ोसी अनुपात φ के और पास आते जाते हैं: 55 ÷ 34 = 1.6176।

सावधान: पुरानी इमारतों या प्रसिद्ध चित्रों में φ ठीक-ठीक होने के कई दावे बढ़ा-चढ़ाकर कहे गए हैं। कलाकार इसे एक काम का मार्गदर्शक मानते हैं, पक्का नियम नहीं। पूरा पाठ देखिए सुनहरा अनुपात।

परिप्रेक्ष्य (Perspective)

परिप्रेक्ष्य वह गणित है जिससे सपाट कागज़ पर गहराई दिखती है। दो बातें काम करती हैं।

• क्षितिज आपकी आँख के स्तर की रेखा है। असल में समानांतर और आपसे दूर जाती रेखाएँ (पटरियाँ, सड़क के किनारे, बाड़ का ऊपरी भाग) उसी क्षितिज पर एक लोप-बिंदु पर मिलती दिखती हैं। यह एक-बिंदु परिप्रेक्ष्य है। दो या तीन लोप-बिंदुओं से इमारतों के कोने बनते हैं।
• दूर की चीज़ें छोटी दिखती हैं। समरूप त्रिभुजों से, चित्र में आकार = असली आकार × (आँख से चित्र तक की दूरी) ÷ (आँख से वस्तु तक की दूरी)। दूरी दोगुनी तो चित्र में आकार आधा।

आँख का स्तर ऊँचा हो तो क्षितिज ऊँचा होता है और चीज़ों का ऊपरी भाग दिखता है; नीचा हो तो आप चीज़ों को ऊपर की ओर देखते हैं। आगे पढ़िए परिप्रेक्ष्य चित्रण।

फ्रैक्टल (Fractals)

फ्रैक्टल ऐसी आकृति है जिसका छोटा हिस्सा पूरे जैसा दिखता है। इसे स्व-समरूपता कहते हैं। एक सरल नियम को बार-बार दोहराकर इसे बनाते हैं।

• फ्रैक्टल पेड़: तना बनाइए, उसके सिरे पर कोण बनाकर दो छोटी शाखाएँ, फिर हर छोटी शाखा के सिरे पर वही। गहराई d के पेड़ में 2^d+1 − 1 शाखाएँ होती हैं।
• कोच वक्र: रेखा के बीच का तिहाई हिस्सा उभार से बदल दीजिए। हर बार रेखा 4/3 गुना लंबी हो जाती है: n चरणों के बाद लंबाई L × (4/3)ⁿ।
• सियेरपिंस्की त्रिभुज: त्रिभुज के बीच का हिस्सा बार-बार काटिए।

फर्न, ब्रोकली, नदी के जाल और तटरेखाएँ फ्रैक्टल जैसी दिखती हैं। कंप्यूटर कलाकार और फ़िल्म बनाने वाले पहाड़, बादल और पेड़ फ्रैक्टल नियमों से बनाते हैं। देखिए फ्रैक्टल।

करके देखिए: तीनों बनाइए

कागज़ पर: (1) 8 cm × 13 cm का आयत बनाइए, 8 cm का वर्ग काटिए, फिर 5, 3, 2, 1 cm के वर्ग काटते जाइए। सर्पिल खींचिए। (2) क्षितिज रेखा, उस पर एक बिंदु, और उस बिंदु तक जाती सड़क बनाइए। (3) Y आकार बनाइए, फिर हर शाखा पर छोटा Y, तीन बार। शाखाएँ गिनिए।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618; φ² = φ + 1
• सुनहरा आयत: लंबी ÷ छोटी = φ
• चित्र में आकार = असली आकार × (आँख से चित्र की दूरी) ÷ (आँख से वस्तु की दूरी)
• गहराई d के फ्रैक्टल पेड़ में 2^(d+1) − 1 शाखाएँ
• कोच वक्र: n चरणों के बाद लंबाई = L × (4/3)^n

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• φ को ठीक 1.6 लिखना। यह 1.6180339... है और खत्म नहीं होता।
• लोप-बिंदु कहीं भी रख देना। ज़मीन की रेखाओं के लिए वह क्षितिज (आँख के स्तर) पर ही होना चाहिए।
• पन्ने पर बड़ा मतलब हमेशा पास समझना। आकार असली आकार और दूरी, दोनों पर निर्भर है।
• सोचना कि फ्रैक्टल हमेशा बनाते रहना पड़ता है। हम कुछ चरण बनाते हैं; नियम ही उसे फ्रैक्टल बनाता है।