खेलों की यांत्रिकी: चाल और प्रक्षेप्य
चाल = दूरी ÷ समय। जो धावक 100 m को 10 s में दौड़े उसकी चाल 10 m/s = 36 km/h है (m/s को 3.6 से गुणा करने पर km/h)।
फेंकी, मारी या किक की गई गेंद प्रक्षेप्य की तरह चलती है। हवा को छोड़ दें तो केवल गुरुत्व (g = 9.8 m/s², नीचे की ओर) बल है और रास्ता परवलय होता है। प्रक्षेपण चाल v और ज़मीन से कोण θ के लिए, जब गेंद उसी ऊँचाई पर गिरे जहाँ से चली थी:
- उड़ान का समय: T = 2 v sin θ ÷ g
- अधिकतम ऊँचाई: H = v² sin² θ ÷ (2g)
- परास (दूरी): R = v² sin 2θ ÷ g
sin 2θ सबसे बड़ा (=1) तब होता है जब 2θ = 90°, यानी सबसे अच्छा कोण 45°। जिन कोणों का योग 90° हो, जैसे 30° और 60°, उनका परास बराबर होता है। असली खेलों में हवा का प्रतिरोध और छोड़ने की ऊँचाई सबसे अच्छा कोण बदल देते हैं: गोला-फेंक में ज़मीन से ऊपर से छोड़ते हैं, इसलिए लगभग 40° अच्छा रहता है। आगे पढ़िए प्रक्षेप्य गति।
खेल में आँकड़ों का विश्लेषण
प्रदर्शन आँकने के लिए हम कई संख्याओं का सार निकालते हैं।
- माध्य = योग ÷ स्कोरों की संख्या।
- माध्यिका = क्रम में लगाने पर बीच का स्कोर। स्कोर सम संख्या में हों तो बीच के दो का औसत।
- बहुलक = जो स्कोर सबसे ज़्यादा बार आए। परास = सबसे बड़ा − सबसे छोटा।
- बैटिंग एवरेज = रन ÷ आउट होने की संख्या (पारियाँ नहीं)।
- स्ट्राइक रेट = रन ÷ खेली गई गेंदें × 100। इकोनॉमी रेट = दिए गए रन ÷ फेंके गए ओवर।
एक बहुत बड़ा या बहुत छोटा स्कोर (बाह्य मान) माध्य को बहुत खींचता है पर माध्यिका को लगभग नहीं। इसलिए बाह्य मान हों तो माध्यिका ज़्यादा भरोसेमंद है। आगे पढ़िए माध्य, माध्यिका और बहुलक।
टूर्नामेंट की समय-सारिणी
आयोजकों को तय करना होता है कि कितने मैच और कितने चक्र चाहिए।
- राउंड रॉबिन (हर टीम हर दूसरी से एक बार खेले): मैचों की संख्या = n(n − 1) ÷ 2, क्योंकि n टीमों में हर टीम n − 1 से खेलती है और हर मैच दो बार गिना जाता है। घर और बाहर दोनों पर खेलें तो n(n − 1)। n सम हो तो n − 1 चक्र, n विषम हो तो n चक्र लगते हैं, क्योंकि हर चक्र में एक टीम आराम ("बाय") करती है।
- नॉकआउट: हर मैच एक टीम को बाहर करता है और एक विजेता बचता है, इसलिए मैच = n − 1। चक्र: सबसे छोटा k ढूँढ़िए जिसके लिए 2^k ≥ n हो, तब चक्र = k। 16 टीमों के 4 चक्र। n 2 की घात न हो तो पहले चक्र में कुछ टीमों को बाय मिलता है।
करके देखिए: अपनी खेल प्रयोगशाला
नरम गेंद को लगभग 30°, 45° और 60° पर तीन-तीन बार फेंकिए और फ़ीते से नापिए। कौन-सा कोण सबसे दूर जाता है? नौ दूरियाँ लिखिए और हर कोण का माध्य और माध्यिका निकालिए। फिर अपनी कक्षा की 6 टीमों की लीग बनाइए: कितने मैच और कितने चक्र?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- चाल = दूरी ÷ समय; km/h = m/s × 3.6
- परास R = v² sin 2θ ÷ g; समय T = 2v sin θ ÷ g; ऊँचाई H = v² sin² θ ÷ 2g
- माध्य = योग ÷ संख्या; माध्यिका = बीच का मान; परास = अधिकतम − न्यूनतम
- बैटिंग एवरेज = रन ÷ आउट होने की संख्या; स्ट्राइक रेट = रन ÷ गेंदें × 100
- राउंड रॉबिन: n(n − 1) ÷ 2 मैच; नॉकआउट: n − 1 मैच
हल किए गए उदाहरण
1. एक धावक 100 m को 12.5 s में दौड़ता है। चाल m/s और km/h में निकालिए।
चाल = 100 ÷ 12.5 = 8 m/s। km/h में: 8 × 3.6 = 28.8 km/h।
2. गेंद 20 m/s से 30° पर फेंकी गई। परास निकालिए (g = 9.8 m/s²)।
R = 20² × sin 60° ÷ 9.8 = 400 × 0.866 ÷ 9.8 = 35.3 m।
3. गेंद 14 m/s से 45° पर फेंकी गई। उड़ान का समय और अधिकतम ऊँचाई निकालिए।
T = 2 × 14 × 0.7071 ÷ 9.8 = 2.02 s। H = 14² × 0.5 ÷ (2 × 9.8) = 98 ÷ 19.6 = 5 m।
4. एक बल्लेबाज़ ने 10 पारियों में 400 रन बनाए और दो बार नाबाद रहा। बैटिंग एवरेज निकालिए। एक पारी में 40 गेंदों पर 60 रन: स्ट्राइक रेट निकालिए।
आउट हुए = 10 − 2 = 8, इसलिए एवरेज = 400 ÷ 8 = 50। स्ट्राइक रेट = 60 ÷ 40 × 100 = 150।
5. स्कोर: 24, 31, 18, 27, 35, 29, 22। माध्य और माध्यिका निकालिए। फिर 22 की जगह 100 रखकर दोबारा निकालिए।
क्रम में: 18, 22, 24, 27, 29, 31, 35। माध्य = 186 ÷ 7 ≈ 26.6, माध्यिका = 27। 100 रखने पर क्रम: 18, 24, 27, 29, 31, 35, 100। माध्य = 264 ÷ 7 ≈ 37.7, माध्यिका = 29। माध्य 11 बढ़ा, माध्यिका सिर्फ़ 2।
6. लीग में 8 टीमें हैं और हर जोड़ी एक बार खेलती है। कितने मैच और चक्र? घर-बाहर खेलें तो कितने मैच?
मैच = 8 × 7 ÷ 2 = 28। चक्र = 7 (n सम)। घर-बाहर: 8 × 7 = 56 मैच।
7. नॉकआउट में 12 टीमें हैं। कुल कितने मैच?
n − 1 = 11 मैच। (12, 2 की घात नहीं है, इसलिए पहले चक्र में कुछ टीमों को बाय मिलता है और 4 चक्र लगते हैं।)
आम गलतियाँ
- sin 2θ निकालते समय कैलकुलेटर को रेडियन मोड में छोड़ देना। उसे डिग्री मोड में रखिए।
- बैटिंग एवरेज में रन को पारियों से भाग देना। यह रन ÷ आउट होने की संख्या है।
- n(n − 1) ÷ 2 में आधा करना भूल जाना। नहीं तो हर मैच दो बार गिना जाता है।
- मान लेना कि हर खेल में 45° ही सबसे अच्छा है। छोड़ने की ऊँचाई और हवा का प्रतिरोध सबसे अच्छा कोण बदल देते हैं।