周期性
如果存在一个数 T > 0，使得对每个 x 都有 f(x + T) = f(x)，那么函数 f 叫做周期函数。满足条件的最小 T 叫做周期。图像就是同一段图形一遍又一遍地重复。
- sin x 和 cos x：周期 2π。
- tan x：周期 π。
- sin(wx)：周期 2π ÷ w。所以 sin(2x) 的周期是 π。
- |sin x|：周期 π（翻上去的部分让图像重复得快了一倍）。
像 x² 这样的函数不是周期函数：它的值越来越大，不会重复。
如果 f 的周期是 T，只要研究一个周期，再把它复制下去就行了。
单调性：增与减
如果 x 变大时图像向上走，函数在这个区间上是增函数；如果图像向下走，就是减函数。它们合起来叫单调（只朝一个方向变化）。
由斜率来判断。曲线在某一点的斜率记作 f′(x)（导数）。
- 在某区间上 f′(x) > 0：在该区间上递增。
- 在某区间上 f′(x) < 0：在该区间上递减。
例子：f(x) = x³ − 3x，f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)。当 x < −1 和 x > 1 时它为正（递增），当 −1 < x < 1 时它为负（递减）。
极值：转折点
极大值是山顶：函数先上升再下降。极小值是谷底：先下降再上升。它们合起来叫极值。
在这样的点上切线是平的，所以 f′(x) = 0。可以这样找：
- 解方程 f′(x) = 0，得到候选点（临界点）。
- 检查 f′ 在这个点前后的符号。先正后负：极大值。先负后正：极小值。符号不变：都不是（比如 x³ 在 0 处）。
对于 x³ − 3x：f′ = 0 时 x = ±1。在 x = −1 处斜率由 + 变 −：极大值，值为 2。在 x = 1 处斜率由 − 变 +：极小值，值为 −2。
区间 [a, b] 上的最大值和最小值
在闭区间 [a, b] 上，光滑的函数有一个最大值和一个最小值。它们可能在区间内的转折点，也可能在端点。所以：
- 找出落在 [a, b] 内的转折点（f′ = 0）。在区间外的不要。
- 计算这些点以及 a、b 处的 f 值。
- 最大的数是最大值，最小的数是最小值。
对 f = x³ − 3x 在 [−2, 1.5] 上：f(−2) = −2，f(−1) = 2，f(1) = −2，f(1.5) = −1.125。最大值 2，在 x = −1；最小值 −2，在 x = −2 和 x = 1。
极大值不一定是区间上最大的：端点处的值可能更大。
试一试：先预测，再验证
在 3D 板上选择“[a, b] 上的最大值和最小值”。先猜一猜：如果 a = −1.5，b = 2，最大值在哪里？拖动 a 和 b 来验证。在家里也可以试：轻轻向上抛一个小球，看它：上升，在最高处停一下（斜率 0），然后落下。最高点就是转折点。或者按稳定的节奏拍手：两次拍手之间的时间就是周期。
重点公式和概念
- 周期函数：对所有 x，f(x + T) = f(x)
- sin(wx)、cos(wx)：T = 2π / w；tan(wx)：T = π / w
- f′(x) > 0 → 递增；f′(x) < 0 → 递减
- 转折点：f′(x) = 0 且 f′ 的符号改变
- [a, b] 上的最大/最小值：比较 f(a)、f(b) 以及区间内转折点处的 f 值
例题讲解
1. 求 y = sin(3x) 的周期。
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3。
2. 求 y = cos(x/2) 的周期。
这里 w = 1/2，所以 T = 2π ÷ (1/2) = 4π。波被拉长了，所以重复得更慢。
3. f(x) = x² 是周期函数吗？
不是。如果对所有 x 都有 f(x + T) = f(x)，那么取 x = 0 时 T² = 0，所以 T = 0，但周期必须大于 0。所以 x² 不是周期函数。它的图像是一个永远不会重复的碗。
4. f(x) = x² − 4x 在哪里递增、在哪里递减？
f′(x) = 2x − 4。它在 x = 2 处为 0。当 x < 2 时 f′ < 0：递减。当 x > 2 时 f′ > 0：递增。所以 x = 2 是最小值点，f(2) = −4。
5. 求 f(x) = x³ − 3x 的极大值和极小值。
f′ = 3x² − 3 = 0 得 x = ±1。在 x = −1 处斜率由 + 变 −：极大值，f(−1) = −1 + 3 = 2。在 x = 1 处斜率由 − 变 +：极小值，f(1) = 1 − 3 = −2。
6. 求 f(x) = x³ − 3x 在 [−2, 1.5] 上的最大值和最小值。
转折点 ±1 都在区间内。f(−2) = −8 + 6 = −2。f(−1) = 2。f(1) = −2。f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125。最大值 2，在 x = −1；最小值 −2，在 x = −2 和 x = 1。
7. 求 f(x) = x² − 4x + 1 在 [0, 5] 上的最大值和最小值。
f′ = 2x − 4 = 0 得 x = 2（在区间内）。f(2) = 4 − 8 + 1 = −3。f(0) = 1。f(5) = 25 − 20 + 1 = 6。最大值 6，在 x = 5（端点）；最小值 −3，在 x = 2。
8. 求 f(x) = x + 1/x 在 [1, 4] 上的最大值和最小值。
f′ = 1 − 1/x²。当 x > 1 时，1/x² < 1，所以 f′ > 0：在整个区间上递增。区间内没有转折点（x = 1 是端点）。最小值 f(1) = 2，最大值 f(4) = 4 + 0.25 = 4.25。
常见错误
- 看到函数重复了一两次，就说它是周期函数。重复必须对每一个 x 都成立。
- sin(wx) 的周期用错。它是 2π ÷ w，不是 2π × w。
- 以为每个 f′ = 0 的点都是最大值点或最小值点。x³ 在 0 处只是暂时平了一下，之后还是继续上升。
- 忘记检查区间的两个端点。最大值或最小值常常就在端点。