Periodizität
Eine Funktion f ist periodisch, wenn es eine Zahl T > 0 gibt, sodass f(x + T) = f(x) für jedes x gilt. Das kleinste solche T heißt Periode. Der Graph ist ein Stück, das sich immer wieder wiederholt.
- sin x und cos x: Periode 2π.
- tan x: Periode π.
- sin(wx): Periode 2π ÷ w. Also hat sin(2x) die Periode π.
- |sin x|: Periode π (die nach oben geklappten Teile sorgen dafür, dass es sich doppelt so oft wiederholt).
Eine Funktion wie x² ist nicht periodisch: Ihre Werte wachsen immer weiter und wiederholen sich nie.
Hat f die Periode T, musst du nur eine Periode untersuchen und sie dann kopieren.
Monotonie: steigend und fallend
Eine Funktion ist auf einem Intervall steigend, wenn der Graph mit wachsendem x nach oben geht, und fallend, wenn er nach unten geht. Beides zusammen nennt man monoton (nur eine Richtung).
Die Steigung verrät es uns. Die Steigung der Kurve an einem Punkt schreibt man f′(x) (die Ableitung).
- f′(x) > 0 auf einem Intervall: dort steigend.
- f′(x) < 0 auf einem Intervall: dort fallend.
Beispiel: f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Sie ist positiv für x < −1 und x > 1 (steigend) und negativ für −1 < x < 1 (fallend).
Extrema: Umkehrpunkte
Ein lokales Maximum ist die Spitze eines Hügels: Die Funktion steigt, dann fällt sie. Ein lokales Minimum ist der Boden eines Tals: erst runter, dann hoch. Zusammen heißen sie Extrema (Einzahl: Extremum).
An so einem Punkt ist die Tangente waagerecht, also f′(x) = 0. So findest du sie:
- Löse f′(x) = 0. Das sind die Kandidaten (kritische Stellen).
- Prüfe das Vorzeichen von f′ kurz davor und kurz danach. Plus, dann minus: Maximum. Minus, dann plus: Minimum. Kein Wechsel: keines von beiden (wie x³ bei 0).
Bei x³ − 3x: f′ = 0 bei x = ±1. Bei x = −1 wechselt die Steigung von + nach −: lokales Maximum mit dem Wert 2. Bei x = 1 wechselt sie von − nach +: lokales Minimum mit dem Wert −2.
Maximum und Minimum auf einem Intervall [a, b]
Auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] hat eine glatte Funktion einen größten und einen kleinsten Wert. Sie können an einem Umkehrpunkt im Inneren oder an einem Rand liegen. Also:
- Finde die Umkehrpunkte (f′ = 0), die in [a, b] liegen. Die außerhalb ignorierst du.
- Berechne f an diesen Punkten und bei a und b.
- Die größte Zahl ist das Maximum, die kleinste das Minimum.
Für f = x³ − 3x auf [−2, 1.5]: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125. Maximum 2 bei x = −1; Minimum −2 bei x = −2 und x = 1.
Ein lokales Maximum ist nicht immer der größte Wert auf dem Intervall: Ein Rand kann größer sein.
Probier es aus: erst raten, dann prüfen
Wähle in der 3D-Tafel "Max und Min auf [a, b]". Rate: Wenn a = −1.5 und b = 2 ist, wo liegt das Maximum? Schiebe a und b, um nachzuprüfen. Zu Hause: Wirf einen kleinen Ball (sanft!) nach oben und beobachte: Er steigt, bleibt oben einen Moment stehen (Steigung 0) und fällt. Der höchste Punkt ist der Umkehrpunkt. Oder klatsche in einem gleichmäßigen Rhythmus: Die Zeit zwischen zwei Klatschern ist die Periode.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Periodisch: f(x + T) = f(x) für alle x
- sin(wx), cos(wx): T = 2π / w; tan(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → steigend; f′(x) < 0 → fallend
- Umkehrpunkt: f′(x) = 0 und das Vorzeichen von f′ wechselt
- Max/Min auf [a, b]: f(a), f(b) und f an den Umkehrpunkten im Inneren vergleichen
Gelöste Beispiele
1. Bestimme die Periode von y = sin(3x).
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. Bestimme die Periode von y = cos(x/2).
Hier ist w = 1/2, also T = 2π ÷ (1/2) = 4π. Die Welle ist gestreckt, deshalb wiederholt sie sich langsamer.
3. Ist f(x) = x² periodisch?
Nein. Wenn f(x + T) = f(x) für alle x gilt, dann bei x = 0: T² = 0, also T = 0, aber eine Periode muss größer als 0 sein. Also ist x² nicht periodisch. Der Graph ist eine Schale, die sich nie wiederholt.
4. Wo ist f(x) = x² − 4x steigend und wo fallend?
f′(x) = 2x − 4. Sie ist 0 bei x = 2. Für x < 2 ist f′ < 0: fallend. Für x > 2 ist f′ > 0: steigend. Also ist x = 2 das Minimum, mit f(2) = −4.
5. Bestimme das lokale Maximum und Minimum von f(x) = x³ − 3x.
f′ = 3x² − 3 = 0 ergibt x = ±1. Bei x = −1 wechselt die Steigung von + nach −: lokales Maximum, f(−1) = −1 + 3 = 2. Bei x = 1 wechselt sie von − nach +: lokales Minimum, f(1) = 1 − 3 = −2.
6. Bestimme Maximum und Minimum von f(x) = x³ − 3x auf [−2, 1.5].
Die Umkehrpunkte ±1 liegen beide im Intervall. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. Größter Wert 2 bei x = −1, kleinster −2 bei x = −2 und x = 1.
7. Bestimme Maximum und Minimum von f(x) = x² − 4x + 1 auf [0, 5].
f′ = 2x − 4 = 0 ergibt x = 2 (im Intervall). f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Maximum 6 bei x = 5 (ein Rand), Minimum −3 bei x = 2.
8. Bestimme Maximum und Minimum von f(x) = x + 1/x auf [1, 4].
f′ = 1 − 1/x². Für x > 1 ist 1/x² < 1, also f′ > 0: auf dem ganzen Intervall steigend. Es gibt keinen Umkehrpunkt im Inneren (x = 1 ist ein Rand). Minimum f(1) = 2, Maximum f(4) = 4 + 0.25 = 4.25.
Häufige Fehler
- Eine Funktion periodisch nennen, nur weil sie sich ein- oder zweimal wiederholt hat. Die Wiederholung muss für jedes x gelten.
- Die falsche Periode für sin(wx) benutzen. Sie ist 2π ÷ w, nicht 2π × w.
- Glauben, dass jeder Punkt mit f′ = 0 ein Maximum oder Minimum ist. x³ ist bei 0 kurz waagerecht, steigt aber weiter.
- Vergessen, die beiden Enden des Intervalls zu prüfen. Der größte oder kleinste Wert liegt oft an einem Rand.