Периодичность
Функция f называется периодической, если есть число T > 0, такое что f(x + T) = f(x) для любого x. Наименьшее такое T называется периодом. График это один кусок, который повторяется снова и снова.
- sin x и cos x: период 2π.
- tan x: период π.
- sin(wx): период 2π ÷ w. Значит, у sin(2x) период π.
- |sin x|: период π (перевёрнутые части заставляют график повторяться в два раза чаще).
Функция вроде x² не периодическая: её значения только растут и никогда не повторяются.
Если у f есть период T, достаточно изучить один период и затем скопировать его.
Монотонность: возрастание и убывание
Функция возрастает на промежутке, если график идёт вверх при росте x, и убывает, если идёт вниз. Вместе это называется монотонностью (только одно направление).
Об этом говорит наклон. Наклон кривой в точке записывают как f′(x) (это производная).
- f′(x) > 0 на промежутке: функция там возрастает.
- f′(x) < 0 на промежутке: функция там убывает.
Пример: f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Она положительна при x < −1 и x > 1 (возрастание) и отрицательна при −1 < x < 1 (убывание).
Экстремумы: точки разворота
Локальный максимум это вершина холма: функция идёт вверх, потом вниз. Локальный минимум это дно долины: вниз, потом вверх. Вместе они называются экстремумами (один из них это экстремум).
В такой точке касательная горизонтальна, поэтому f′(x) = 0. Ищем их так:
- Решаем f′(x) = 0. Это кандидаты (критические точки).
- Проверяем знак f′ чуть раньше и чуть позже. Плюс, потом минус: максимум. Минус, потом плюс: минимум. Знак не меняется: ни то ни другое (как у x³ в нуле).
Для x³ − 3x: f′ = 0 при x = ±1. В точке x = −1 наклон меняется с + на −: локальный максимум, значение 2. В точке x = 1 он меняется с − на +: локальный минимум, значение −2.
Наибольшее и наименьшее на отрезке [a, b]
На замкнутом отрезке [a, b] гладкая функция имеет наибольшее и наименьшее значения. Они могут быть в точке разворота внутри или на конце. Поэтому:
- Найди точки разворота (f′ = 0), которые лежат внутри [a, b]. Те, что снаружи, пропусти.
- Вычисли f в этих точках и в a и b.
- Самое большое число это наибольшее значение, самое маленькое это наименьшее.
Для f = x³ − 3x на [−2, 1.5]: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125. Наибольшее 2 при x = −1; наименьшее −2 при x = −2 и x = 1.
Локальный максимум не всегда самый большой на отрезке: конец может оказаться выше.
Попробуй: сначала предскажи, потом проверь
На 3D-доске выбери «Наибольшее и наименьшее на [a, b]». Угадай: если a = −1.5 и b = 2, где находится максимум? Подвигай a и b и проверь. Дома: подбрось маленький мячик (осторожно!) и смотри: он поднимается, на миг замирает наверху (наклон 0) и падает. Верхняя точка это точка разворота. Или хлопай в ровном ритме: время между двумя хлопками это период.
Главные формулы и определения
- Периодичность: f(x + T) = f(x) для всех x
- sin(wx), cos(wx): T = 2π / w; tan(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → возрастает; f′(x) < 0 → убывает
- Точка разворота: f′(x) = 0 и знак f′ меняется
- Наибольшее/наименьшее на [a, b]: сравни f(a), f(b) и f в точках разворота внутри
Разобранные примеры
1. Найди период функции y = sin(3x).
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. Найди период функции y = cos(x/2).
Здесь w = 1/2, поэтому T = 2π ÷ (1/2) = 4π. Волна растянута, поэтому повторяется медленнее.
3. Периодична ли функция f(x) = x²?
Нет. Если f(x + T) = f(x) для всех x, то при x = 0: T² = 0, значит T = 0, но период должен быть больше 0. Значит, x² не периодична. График это чаша, которая никогда не повторяется.
4. Где функция f(x) = x² − 4x возрастает и где убывает?
f′(x) = 2x − 4. Она равна 0 при x = 2. При x < 2: f′ < 0, функция убывает. При x > 2: f′ > 0, функция возрастает. Значит, x = 2 это минимум, f(2) = −4.
5. Найди локальный максимум и минимум функции f(x) = x³ − 3x.
f′ = 3x² − 3 = 0 даёт x = ±1. В точке x = −1 наклон меняется с + на −: локальный максимум, f(−1) = −1 + 3 = 2. В точке x = 1 он меняется с − на +: локальный минимум, f(1) = 1 − 3 = −2.
6. Найди наибольшее и наименьшее значения f(x) = x³ − 3x на [−2, 1.5].
Обе точки разворота ±1 лежат внутри. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. Наибольшее 2 при x = −1, наименьшее −2 при x = −2 и x = 1.
7. Найди наибольшее и наименьшее значения f(x) = x² − 4x + 1 на [0, 5].
f′ = 2x − 4 = 0 даёт x = 2 (внутри). f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Наибольшее 6 при x = 5 (на конце), наименьшее −3 при x = 2.
8. Найди наибольшее и наименьшее значения f(x) = x + 1/x на [1, 4].
f′ = 1 − 1/x². При x > 1 имеем 1/x² < 1, значит f′ > 0: функция возрастает на всём отрезке. Внутри нет точек разворота (x = 1 это конец). Наименьшее f(1) = 2, наибольшее f(4) = 4 + 0.25 = 4.25.
Частые ошибки
- Считать функцию периодической, увидев, что она повторилась один-два раза. Повтор должен выполняться для каждого x.
- Брать неверный период для sin(wx). Он равен 2π ÷ w, а не 2π × w.
- Думать, что каждая точка с f′ = 0 это максимум или минимум. У x³ в нуле наклон на миг плоский, но функция продолжает расти.
- Забывать проверить два конца отрезка. Самое большое или самое маленькое значение часто лежит на конце.