주기
어떤 수 T > 0이 있어서 모든 x에 대해 f(x + T) = f(x)이면 함수 f를 주기함수라고 해요. 이런 T 중 가장 작은 값이 주기예요. 그래프는 한 조각이 계속 되풀이되는 모양이에요.
- sin x와 cos x: 주기 2π.
- tan x: 주기 π.
- sin(wx): 주기 2π ÷ w. 그래서 sin(2x)의 주기는 π예요.
- |sin x|: 주기 π (뒤집힌 부분 때문에 두 배 자주 되풀이돼요).
x² 같은 함수는 주기함수가 아니에요. 값이 계속 커지기만 하고 되풀이되지 않아요.
f의 주기가 T라면 한 주기만 살펴본 뒤 그대로 복사하면 돼요.
증가와 감소
x가 커질 때 그래프가 올라가면 그 구간에서 함수가 증가한다고 하고, 내려가면 감소한다고 해요. 이 둘을 합쳐 단조(한 방향으로만 움직임)라고 불러요.
이것은 기울기로 알 수 있어요. 한 점에서 곡선의 기울기는 f′(x)(도함수)로 써요.
- 구간에서 f′(x) > 0: 그 구간에서 증가.
- 구간에서 f′(x) < 0: 그 구간에서 감소.
예: f(x) = x³ − 3x이면 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)이에요. x < −1 또는 x > 1에서는 양수(증가), −1 < x < 1에서는 음수(감소)예요.
극값: 꺾이는 점
극대는 언덕 꼭대기예요. 함수가 올라갔다가 내려가요. 극소는 골짜기 바닥이에요. 내려갔다가 올라가요. 이 둘을 합쳐 극값이라고 해요.
이런 점에서는 접선이 평평해서 f′(x) = 0이에요. 다음과 같이 찾아요.
- f′(x) = 0을 풀어요. 이 값들이 후보(임계점)예요.
- 바로 앞과 바로 뒤에서 f′의 부호를 확인해요. 양수에서 음수로 바뀌면 극대, 음수에서 양수로 바뀌면 극소, 바뀌지 않으면 둘 다 아니에요(0에서의 x³처럼).
x³ − 3x에서는 x = ±1일 때 f′ = 0이에요. x = −1에서 기울기가 +에서 −로 바뀌므로 극대이고 값은 2예요. x = 1에서는 −에서 +로 바뀌므로 극소이고 값은 −2예요.
구간 [a, b]에서의 최댓값과 최솟값
닫힌구간 [a, b]에서 매끄러운 함수는 가장 큰 값과 가장 작은 값을 가져요. 이 값들은 구간 안의 꺾이는 점에 있거나 끝점에 있어요. 그래서 이렇게 해요.
- [a, b] 안에 있는 꺾이는 점(f′ = 0)을 찾아요. 구간 밖의 점은 무시해요.
- 그 점들과 a, b에서 f의 값을 계산해요.
- 가장 큰 수가 최댓값, 가장 작은 수가 최솟값이에요.
[−2, 1.5]에서 f = x³ − 3x이면 f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125예요. 최댓값은 x = −1에서 2, 최솟값은 x = −2와 x = 1에서 −2예요.
극대가 구간에서 가장 큰 값이라는 보장은 없어요. 끝점이 더 클 수도 있어요.
해 보기: 먼저 예상하고, 확인하기
3D 보드에서 "[a, b]에서의 최댓값과 최솟값"을 고르세요. 예상해 보세요. a = −1.5이고 b = 2이면 최댓값은 어디에 있을까요? a와 b를 움직여 확인해 보세요. 집에서는 작은 공을 살짝 위로 던져 보세요. 올라가다가 꼭대기에서 잠깐 멈추고(기울기 0) 떨어져요. 그 꼭대기가 꺾이는 점이에요. 또는 일정한 박자로 박수를 쳐 보세요. 박수 사이의 시간이 주기예요.
핵심 공식과 정의
- 주기함수: 모든 x에 대해 f(x + T) = f(x)
- sin(wx), cos(wx): T = 2π / w; tan(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → 증가; f′(x) < 0 → 감소
- 꺾이는 점: f′(x) = 0이고 f′의 부호가 바뀜
- [a, b]에서의 최대·최소: f(a), f(b), 그리고 구간 안 꺾이는 점에서의 f 값을 비교
풀이 예제
1. y = sin(3x)의 주기를 구하세요.
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. y = cos(x/2)의 주기를 구하세요.
여기서 w = 1/2이므로 T = 2π ÷ (1/2) = 4π예요. 파동이 늘어나서 더 천천히 되풀이돼요.
3. f(x) = x²은 주기함수일까요?
아니요. 모든 x에 대해 f(x + T) = f(x)라면 x = 0에서 T² = 0, 즉 T = 0이 되는데, 주기는 0보다 커야 해요. 그래서 x²은 주기함수가 아니에요. 그래프는 되풀이되지 않는 그릇 모양이에요.
4. f(x) = x² − 4x는 어디에서 증가하고 어디에서 감소하나요?
f′(x) = 2x − 4예요. x = 2에서 0이에요. x < 2에서는 f′ < 0이므로 감소, x > 2에서는 f′ > 0이므로 증가해요. 그래서 x = 2가 최소이고 f(2) = −4예요.
5. f(x) = x³ − 3x의 극댓값과 극솟값을 구하세요.
f′ = 3x² − 3 = 0에서 x = ±1이에요. x = −1에서 기울기가 +에서 −로 바뀌므로 극대, f(−1) = −1 + 3 = 2예요. x = 1에서는 −에서 +로 바뀌므로 극소, f(1) = 1 − 3 = −2예요.
6. [−2, 1.5]에서 f(x) = x³ − 3x의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
꺾이는 점 ±1은 둘 다 구간 안에 있어요. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. 가장 큰 값은 x = −1에서 2, 가장 작은 값은 x = −2와 x = 1에서 −2예요.
7. [0, 5]에서 f(x) = x² − 4x + 1의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
f′ = 2x − 4 = 0에서 x = 2(구간 안)예요. f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. 최댓값은 x = 5(끝점)에서 6, 최솟값은 x = 2에서 −3이에요.
8. [1, 4]에서 f(x) = x + 1/x의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
f′ = 1 − 1/x²예요. x > 1이면 1/x² < 1이므로 f′ > 0이고, 구간 전체에서 증가해요. 구간 안에 꺾이는 점은 없어요(x = 1은 끝점). 최솟값은 f(1) = 2, 최댓값은 f(4) = 4 + 0.25 = 4.25예요.
자주 하는 실수
- 한두 번 되풀이되는 것을 보고 주기함수라고 말하는 것. 되풀이는 모든 x에서 성립해야 해요.
- sin(wx)의 주기를 잘못 쓰는 것. 주기는 2π ÷ w이지 2π × w가 아니에요.
- f′ = 0인 점이 모두 최대나 최소라고 생각하는 것. 0에서의 x³은 잠깐 평평하지만 계속 올라가요.
- 구간의 양 끝점을 확인하지 않는 것. 가장 큰 값이나 가장 작은 값은 끝점에 있는 경우가 많아요.