양의 변화율
y가 x에 따라 변할 때, dy/dx는 x에 대한 y의 변화율입니다. x = a에서의 값은 (dy/dx)의 a에서의 값 또는 f′(a)로 씁니다.
x와 y가 모두 시간 t에 따라 변하면 연쇄법칙을 씁니다: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
예: 원의 반지름이 0.5 cm/s로 커집니다. 넓이 A = πr²이므로 dA/dt = 2πr × dr/dt입니다. r = 4 cm일 때 dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s입니다.
경제학의 한계비용과 한계수입도 도함수입니다. 물건 하나를 더 만들 때 늘어나는 비용이나 수입을 뜻합니다.
증가 함수와 감소 함수
f가 미분 가능한 구간에서:
- 구간의 모든 x에서 f′(x) > 0 → f는 순증가(그래프가 왼쪽에서 오른쪽으로 올라감).
- 모든 x에서 f′(x) < 0 → f는 순감소.
- 모든 x에서 f′(x) = 0 → f는 상수.
구간 찾는 방법
- f′(x)를 구하고 f′(x) = 0을 풉니다.
- 이 점들이 수직선을 여러 구간으로 나눕니다.
- 각 구간에서 f′의 부호를 확인합니다.
f(x) = x³ − 3x에서 f′ = 3(x − 1)(x + 1)입니다. (−∞, −1)과 (1, ∞)에서 증가하고, (−1, 1)에서 감소합니다.
극대와 극소
극대인 점은 주변의 모든 점보다 높은 점이고, 극소인 점은 주변의 모든 점보다 낮은 점입니다. 함수가 그 점에서 매끄럽다면 f′(c) = 0입니다. f′(c) = 0이거나 f′가 정의되지 않는 점을 임계점이라고 합니다.
1계 도함수 판정법
- c에서 f′가 +에서 −로 바뀌면 → 극대.
- c에서 f′가 −에서 +로 바뀌면 → 극소.
- 부호가 바뀌지 않으면 → 극대도 극소도 아님(0에서의 x³ 같은 변곡점).
2계 도함수 판정법
- f′(c) = 0이고 f″(c) < 0 → 극대.
- f′(c) = 0이고 f″(c) > 0 → 극소.
- f″(c) = 0 → 이 판정법으로는 알 수 없으니 1계 도함수 판정법으로 돌아갑니다.
[a, b]에서의 절대(전체) 최댓값과 최솟값
[a, b] 안의 모든 임계점을 찾고, 그 점들과 양 끝점 a, b에서 f의 값을 구합니다. 가장 큰 값이 절대 최댓값, 가장 작은 값이 절대 최솟값입니다.
실생활 문제
- 가장 크게(작게) 만들 양(부피, 넓이, 비용)을 정합니다.
- 주어진 조건을 이용해 그 양을 하나의 변수로 나타냅니다.
- 미분하고, 도함수를 0으로 놓고 풉니다.
- 2계 도함수(또는 1계)로 최대인지 최소인지 확인합니다.
- 단위를 붙여 답합니다.
상자 예: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6)입니다. x = 6이면 상자가 만들어지지 않으므로 x = 2이고, V″(2) = −48 < 0이므로 극대이며 최대 부피는 128 cm³입니다.
핵심 공식과 정의
- 변화율: dy/dx; 관련 변화율 dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → 증가, f′(x) < 0 → 감소
- 임계점: f′(c) = 0 또는 f′(c)가 정의되지 않음
- 1계 도함수 판정법: + → − 극대, − → + 극소
- 2계 도함수 판정법: f″(c) < 0 극대, f″(c) > 0 극소
풀이 예제
1. 정사각형의 한 변이 3 cm/s로 늘어납니다. 한 변이 10 cm일 때 넓이는 얼마나 빠르게 늘어날까요?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s.
2. 풍선의 반지름이 2 cm/s로 커집니다. r = 5 cm일 때 부피의 변화율을 구하세요.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s.
3. x개를 만드는 비용이 C(x) = 0.5x² + 10x + 100입니다. x = 20일 때 한계비용을 구하세요.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. 21번째 물건을 만들 때 약 ₹30이 더 듭니다.
4. f(x) = x² − 4x + 1이 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요.
f′(x) = 2x − 4 = 0에서 x = 2. x < 2이면 f′ < 0(감소), x > 2이면 f′ > 0(증가).
5. f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1의 극댓값과 극솟값을 구하세요.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → 극대, f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → 극소, f(2) = 5.
6. [0, 3]에서 f(x) = x³ − 3x의 절대 최댓값과 최솟값을 구하세요.
구간 안의 임계점: x = 1 (x = −1은 구간 밖). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. 절대 최댓값 18(x = 3), 절대 최솟값 −2(x = 1).
7. 합이 20인 두 양수가 있습니다. 곱이 가장 크도록 두 수를 구하세요.
두 수를 x와 20 − x라 하면 P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → 최대. 두 수는 10과 10, 곱은 100.
8. 둘레가 40 m인 직사각형의 넓이는 정사각형일 때 가장 큼을 보이세요.
변을 x와 20 − x라 하면 A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. 두 변이 모두 10 m인 정사각형이고 넓이는 100 m².
자주 하는 실수
- f′(c) = 0이면 항상 극대나 극소라고 생각하는 것. 0에서의 x³은 기울기가 0이지만 곡선은 계속 올라갑니다.
- 닫힌 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 찾을 때 양 끝점을 확인하지 않는 것.
- 문장제에서 양을 하나의 변수로 나타내기 전에 미분하는 것.
- 변화율의 단위를 섞는 것: r이 cm, 시간이 s이면 답은 cm²/s 또는 cm³/s입니다.