量的变化率
如果 y 依赖于 x，那么 dy/dx 就是 y 关于 x 的变化率。在 x = a 处，我们写作 (dy/dx) 在 a 的值，或 f′(a)。
如果 x 和 y 都随时间 t 变化，就用链式法则：dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt)。
例子：圆的半径以 0.5 cm/s 增大。面积 A = πr²，所以 dA/dt = 2πr × dr/dt。当 r = 4 cm 时，dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s。
经济学中的边际成本和边际收益也是导数：多生产一件产品，成本或收入变化多少。
递增函数与递减函数
在 f 可导的区间上：
- 对所有 x 都有 f′(x) > 0 → f 严格递增（图像从左到右上升）。
- 对所有 x 都有 f′(x) < 0 → f 严格递减。
- 对所有 x 都有 f′(x) = 0 → f 是常数函数。
如何找出区间
- 求出 f′(x)，并解方程 f′(x) = 0。
- 这些点把数轴分成几个区间。
- 在每个区间里检验 f′ 的符号。
对 f(x) = x³ − 3x：f′ = 3(x − 1)(x + 1)。在 (−∞, −1) 和 (1, ∞) 上递增，在 (−1, 1) 上递减。
极大值与极小值
极大值是比附近所有点都高的点；极小值是比附近所有点都低的点。在这样的点上（如果函数在那里光滑），f′(c) = 0。f′(c) = 0 或 f′ 不存在的点叫做临界点。
一阶导数判别法
- 在 c 处 f′ 由 + 变为 − → 极大值。
- 在 c 处 f′ 由 − 变为 + → 极小值。
- 符号不变 → 都不是（是拐点，比如 x³ 在 0 处）。
二阶导数判别法
- f′(c) = 0 且 f″(c) < 0 → 极大值。
- f′(c) = 0 且 f″(c) > 0 → 极小值。
- f″(c) = 0 → 此法失效，改用一阶导数判别法。
闭区间 [a, b] 上的绝对（全局）最大值和最小值
找出 [a, b] 内所有临界点，算出 f 在这些点以及两个端点 a、b 处的值。最大的是绝对最大值，最小的是绝对最小值。
生活中的问题
- 写出要使其最大或最小的量（体积、面积、成本）。
- 利用已知条件，把它写成一个变量的式子。
- 求导，令导数为 0，解方程。
- 用二阶导数（或一阶导数）判别法确认是最大还是最小。
- 带上单位回答问题。
盒子例子：V = x(12 − 2x)²，dV/dx = 12(x − 2)(x − 6)。x = 6 时没有盒子，所以取 x = 2；V″(2) = −48 < 0，是极大值，最大体积为 128 cm³。
重点公式和概念
- 变化率：dy/dx；相关变化率 dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → 递增, f′(x) < 0 → 递减
- 临界点：f′(c) = 0 或 f′(c) 不存在
- 一阶导数判别法：+ → − 极大，− → + 极小
- 二阶导数判别法：f″(c) < 0 极大，f″(c) > 0 极小
例题讲解
1. 正方形的边长以 3 cm/s 的速度增大。当边长为 10 cm 时，面积增大得有多快？
A = x²，dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s。
2. 气球的半径以 2 cm/s 的速度增大。求 r = 5 cm 时体积的变化率。
V = (4/3)πr³，dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s。
3. 生产 x 件产品的成本为 C(x) = 0.5x² + 10x + 100。求 x = 20 时的边际成本。
C′(x) = x + 10。C′(20) = 30。多生产第 21 件产品大约多花 ₹30。
4. 求 f(x) = x² − 4x + 1 的递增区间和递减区间。
f′(x) = 2x − 4，在 x = 2 处等于 0。当 x < 2 时 f′ < 0（递减）；当 x > 2 时 f′ > 0（递增）。
5. 求 f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1 的极大值和极小值。
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2。f″ = 12x − 18。f″(1) = −6 < 0 → 极大值 f(1) = 6。f″(2) = 6 > 0 → 极小值 f(2) = 5。
6. 求 f(x) = x³ − 3x 在 [0, 3] 上的绝对最大值和最小值。
区间内的临界点：x = 1（x = −1 在区间外）。f(0) = 0，f(1) = −2，f(3) = 18。绝对最大值 18 在 x = 3 处，绝对最小值 −2 在 x = 1 处。
7. 两个正数的和是 20。求这两个数，使它们的乘积最大。
设两数为 x 和 20 − x。P = 20x − x²。P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10。P″ = −2 < 0 → 最大。两个数是 10 和 10，乘积 100。
8. 长方形的周长是 40 m。证明当它是正方形时面积最大。
两边为 x 和 20 − x，A = 20x − x²，A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10，A″ = −2 < 0。两边都是 10 m：正方形，面积 100 m²。
常见错误
- 以为 f′(c) = 0 就一定是极大值或极小值。x³ 在 0 处斜率为 0，但曲线仍然一直上升。
- 在闭区间上求绝对最大值或最小值时，忘了检查端点。
- 做应用题时，还没把要求的量写成一个变量的式子就先求导。
- 变化率里单位混用：如果 r 用 cm、时间用 s，答案的单位应是 cm²/s 或 cm³/s。