什么是连续性?
函数 f 在 x = a 处连续,需要三样东西相等:
- 左极限(x 从比 a 小的一侧靠近 a),
- 右极限(x 从比 a 大的一侧靠近 a),
- 函数值 f(a)。
简单说:lim(x→a) f(x) = f(a)。只要有一个不存在或者不相等,图像在 a 处就有断点(空洞或跳跃)。
多项式、sin x、cos x、eˣ 和 ln x(x > 0)在有定义的地方都是连续的。连续函数的和、差、积、商(分母不为零)也是连续的。
可导一定连续,反过来不一定
如果函数在 a 处有导数,它在 a 处一定连续。但 |x| 在 0 处连续,却没有导数:图像在那里有一个尖角,左边斜率是 −1,右边斜率是 +1,两者不相等。
导数与链式法则
导数 f′(x) 是曲线在 x 处切线的斜率:f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h。
链式法则(函数里面套着函数):如果 y = f(u),u = g(x),那么 dy/dx = (dy/du) × (du/dx)。
例子:y = (3x + 1)⁵。外层:u⁵ → 5u⁴。内层:3x + 1 → 3。所以 dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴。
反三角函数的导数
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²),−1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)),d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
为什么 tan⁻¹x 是这样:设 y = tan⁻¹x,则 tan y = x。两边求导:sec²y · dy/dx = 1,所以 dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²)。
小技巧:先做一个巧妙的代换,比如 x = tan θ,常常能把复杂的式子变简单,然后再求导。
隐函数
有时 x 和 y 混在一起,比如 x² + y² = 9 或 x³ + y³ = 3xy。我们不需要把 y 解出来。对每一项都关于 x 求导,凡是遇到含 y 的项,就要乘以 dy/dx(链式法则)。最后把含 dy/dx 的项合并起来。
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y。
指数函数与对数函数
- d/dx (eˣ) = eˣ,它的斜率等于它的高度。
- d/dx (ln x) = 1/x,x > 0。
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a。
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a)。
配合链式法则:d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x),d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x。
对数求导法
当指数里也有 x(比如 xˣ 或 (sin x)^x),或者是很长的乘积、商时,就用这个方法。
- 两边取 ln:ln y = x ln x。
- 求导:(1/y) dy/dx = ln x + 1。
- 两边乘以 y:dy/dx = xˣ(1 + ln x)。
参数方程的求导
有时 x 和 y 都依赖于第三个变量 t(叫做参数),比如 x = t²,y = 2t。那么
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt),前提是 dx/dt ≠ 0。
对于圆 x = r cos t,y = r sin t:dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t。
二阶导数
再求一次导:d²y/dx² = d/dx (dy/dx),也写作 f″(x) 或 y₂。
它告诉我们斜率怎样变化。f″ > 0:斜率在变大,曲线像碗一样向上弯。f″ < 0:曲线像帽子一样向下弯。
例子:y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x。
对于参数形式:d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt)。不要直接用 d²y/dt² 去除以 d²x/dt²。
重点公式和概念
- a 处连续:lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- 链式法则:dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- 参数方程:dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- 二阶导数:d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
例题讲解
1. f(x) = 2x + 3(x ≤ 1),f(x) = 6 − x(x > 1),在 x = 1 处连续吗?
左极限:2(1) + 3 = 5。右极限:6 − 1 = 5。函数值 f(1) = 5。三者相等,所以 f 在 x = 1 处连续。
2. 求 k,使 f(x) = kx²(x ≤ 2),f(x) = 3(x > 2)在 x = 2 处连续。
左极限 = 函数值 = 4k。右极限 = 3。要连续,必须 4k = 3,所以 k = 3/4。
3. 对 y = sin(x² + 5) 求导。
外层 sin u → cos u;内层 x² + 5 → 2x。dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5)。
4. 对 y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) 求导,其中 −1 < x < 1。
设 x = tan θ。则 2x/(1 − x²) = tan 2θ,所以 y = 2θ = 2 tan⁻¹x。dy/dx = 2/(1 + x²)。
5. 若 x² + xy + y² = 7,求 dy/dx。
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0。所以 dy/dx (x + 2y) = −(2x + y),得 dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y)。
6. 对 y = e^(3x) · ln x 求导。
乘积法则:dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x)。
7. 对 y = xˣ(x > 0)求导。
ln y = x ln x。(1/y) dy/dx = ln x + 1。dy/dx = xˣ(1 + ln x)。
8. 若 x = a cos t,y = a sin t,求 dy/dx 和 d²y/dx²。
dx/dt = −a sin t,dy/dt = a cos t,所以 dy/dx = −cot t。d/dt(−cot t) = cosec²t。d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t)。
9. 若 y = 3e^(2x) + 2e^(−x),证明 y″ − y′ − 2y = 0。
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x);y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x)。y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0。
常见错误
- 链式法则里忘了乘内层的导数:d/dx sin(3x) 是 3cos(3x),不是 cos(3x)。
- 隐函数求导时,把 d/dx(y²) 写成 2y,而不是 2y·dy/dx。
- 以为连续函数都可导。|x| 在 0 处连续,但有尖角,所以那里没有导数。
- 求参数方程的二阶导数时,直接用 d²y/dt² 除以 d²x/dt²。正确做法是先把 dy/dx 对 t 求导,再除以 dx/dt。