积分是求导的逆运算
如果 d/dx F(x) = f(x),那么 F 叫做 f 的原函数,我们写成 ∫f(x) dx = F(x) + C。C 叫做积分常数:加上任何常数都不会改变斜率,所以答案有一整族。
做完以后一定要检查:对结果求导,必须得到被积函数。
两条基本法则:∫[f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx,以及 ∫k f dx = k∫f dx。
常用积分公式
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- ∫dx/(x² − a²) = (1/2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C; ∫dx/(a² − x²) = (1/2a) ln|(a + x)/(a − x)| + C
- ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(x² ± a²) = ln|x + √(x² ± a²)| + C
- ∫√(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
- ∫√(x² ± a²) dx = (x/2)√(x² ± a²) ± (a²/2) ln|x + √(x² ± a²)| + C
对于 ∫dx/(ax² + bx + c),先配方,把它化成上面的某一种形式。
换元积分法
当被积函数里有一个函数,而且它的导数(相差一个倍数)也在里面时,就把里面的函数记为 u。
∫2x cos(x²) dx:令 u = x²,du = 2x dx → ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C。
常用结论:∫tan x dx = ln|sec x| + C,∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C,∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C。
部分分式积分法
对于真分式 P(x)/Q(x),把它拆开:
- 1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)
- 重复的因式:A/(x − a) + B/(x − a)²
- 不能再分解的二次因式:(Bx + C)/(x² + bx + c)
取方便的 x 值就能求出 A、B,然后把每一项积成对数。如果分子的次数不比分母小,要先做除法。
分部积分法
∫u dv = uv − ∫v du,也可以写成 ∫f·g dx = f∫g dx − ∫[f′ ∫g dx] dx。
用 ILATE 选 u(第一个函数)。∫x eˣ dx:u = x,dv = eˣ dx → x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x − 1) + C。
特殊结论:∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣ f(x) + C。
定积分与基本定理
∫ₐᵇ f(x) dx 是把曲线 y = f(x) 下方从 a 到 b 的许多细矩形面积相加后取极限(x 轴上方的面积算正,下方的算负)。
微积分基本定理:(1) A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 的导数是 A′(x) = f(x)。(2) 如果 F′ = f,那么 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)。这里不需要 +C。
在定积分中做换元时,积分上下限也要跟着换。
定积分的性质与计算
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt(用什么字母无所谓)。
- ∫ₐᵇ f = −(从 b 到 a 的 ∫f);∫ₐᵃ f = 0。
- 从 a 到 b 的积分 = 从 a 到 c 的积分 + 从 c 到 b 的积分(在 c 处分开,对 |x| 这类函数很有用)。
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx。
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx。
- ∫₀²ᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx(当 f(2a − x) = f(x) 时);当 f(2a − x) = −f(x) 时等于 0。
- ∫₋ₐᵃ f(x) dx:f 是偶函数时等于 2∫₀ᵃ f(x) dx;f 是奇函数时等于 0。
经典例题:I = ∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx。由性质 5,I 也等于 ∫ cos x/(cos x + sin x) dx。两式相加:2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2,所以 I = π/4。
重点公式和概念
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- 分部积分:∫u dv = uv − ∫v du
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx
例题讲解
1. 求 ∫(3x² + 4x − 5) dx。
x³ + 2x² − 5x + C。检查:求导得 3x² + 4x − 5。
2. 求 ∫(x + 1)/x dx。
∫(1 + 1/x) dx = x + ln|x| + C。
3. 求 ∫ sin³x cos x dx。
令 u = sin x,du = cos x dx。∫u³ du = u⁴/4 + C = sin⁴x/4 + C。
4. 求 ∫ dx/(x² + 4x + 13)。
x² + 4x + 13 = (x + 2)² + 9。所以结果 = (1/3) tan⁻¹((x + 2)/3) + C。
5. 求 ∫ (x + 5)/((x + 1)(x + 2)) dx。
(x + 5)/((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2)。令 x = −1:A = 4。令 x = −2:B = −3。答案:4 ln|x + 1| − 3 ln|x + 2| + C。
6. 求 ∫ x cos x dx。
u = x(幂),dv = cos x dx(三角)。v = sin x。= x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C。
7. 求 ∫ ln x dx。
写成 ∫ln x · 1 dx,令 u = ln x,dv = dx。= x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − x + C。
8. 计算 ∫₀² (x² + 1) dx。
[x³/3 + x]₀² = 8/3 + 2 = 14/3。
9. 计算 ∫₋₁¹ x³ cos x dx。
x³ cos x 是奇函数(f(−x) = −f(x)),所以从 −1 到 1 的积分是 0。
10. 计算 ∫₀^(π/2) sin²x dx。
由性质 5,它等于 ∫₀^(π/2) cos²x dx。两式相加,2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2,所以 I = π/4。
常见错误
- 做不定积分时忘记写 + C(定积分里不需要)。
- 在 n = −1 时还用 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。正确的是 ∫1/x dx = ln|x| + C。
- 在定积分中换元以后,新变量仍然用旧的上下限。
- 分部积分时选错 u(比如在 ∫x eˣ dx 中取 u = eˣ),结果新的积分反而更难。