为什么需要复数？
把任何实数平方：3² = 9，(−3)² = 9，0² = 0。结果永远不是负数。所以 x² = −1，也就是 x² + 1 = 0，没有实数解。
数学家的办法是加入一个新数，叫虚数单位，写作 i，规定 i² = −1。于是 √(−1) = i，√(−9) = √9 · i = 3i。
复数就是形如 z = a + ib 的数，其中 a、b 都是实数。a 叫实部，记作 Re(z)；b 叫虚部，记作 Im(z)。实数就是 b = 0 的复数，所以原来的数一个也没丢。看3D的第 1 步：i 就是 1 转四分之一圈。
i 的幂
i¹ = i，i² = −1，i³ = i²·i = −i，i⁴ = (i²)² = 1。之后就重复了。求 iⁿ 时，用 n 除以 4 看余数：i⁴ᵏ = 1，i⁴ᵏ⁺¹ = i，i⁴ᵏ⁺² = −1，i⁴ᵏ⁺³ = −i。例：i¹⁰²，因为 102 = 4 × 25 + 2，所以 i¹⁰² = −1。
小心：√a · √b = √(ab) 只在 a、b 不全是负数时才成立。例如 √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6，而不是 √36 = 6。
复数的运算
- 相等：a + ib = c + id 当且仅当 a = c 且 b = d。
- 加法：(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)。加法封闭，满足交换律和结合律；0 是单位元，−z 是加法逆元。
- 减法：(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)。
- 乘法：像去括号那样相乘，再代入 i² = −1：(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)。乘法也满足交换律、结合律，并对加法有分配律；1 是单位元。
- 乘法逆元：当 z = a + ib ≠ 0 时，z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²)。
- 除法：z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹。实际计算时，分子分母同乘分母的共轭复数。
像 (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² 这样的恒等式对复数同样成立。
共轭与模
z = a + ib 的共轭复数是 z̄ = a − ib（把虚部的符号变反）。模是 |z| = √(a² + b²)。常用结论：z · z̄ = |z|²，|z₁z₂| = |z₁||z₂|，|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|，conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂，conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂。
两个非实数的复数不能比大小：2 + i > 1 + 3i 没有意义。只能比较它们的模。
复平面（阿尔冈平面）
画两条互相垂直的坐标轴。水平的是实轴，竖直的是虚轴。复数 z = a + ib 对应点 (a, b)。这个平面叫复平面（也叫阿尔冈平面）。
- 实数（如 4）在实轴上；纯虚数（如 3i）在虚轴上。
- |z| 是这个点到原点 O 的距离，由勾股定理得到（3D 第 5 步）。
- z̄ 是 z 关于实轴的镜像。
- z₁ + z₂ 是以 O、z₁、z₂ 为三个顶点的平行四边形的第四个顶点（第 3 步）。
- 乘以 i，就是把点绕 O 逆时针旋转 90°（第 4 步）。
有复数根的二次方程
对 ax² + bx + c = 0（a、b、c 为实数），根为 x = (−b ± √D)/2a，其中 D = b² − 4ac。
- D > 0：两个不相等的实根。D = 0：两个相等的实根。
- D < 0：√D = i√(−D)，所以根为 x = (−b ± i√(−D))/2a。它们是复数，而且总是一对共轭复数。
例：x² + 2x + 5 = 0。D = 4 − 20 = −16，√D = 4i，x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i。可以在自由练习里试试。
考试重点
在 11 年级的考试中，代数部分约占 25 分。这一章常考：i 的幂（1 分）、把商化成 a + ib 的形式（2–3 分）、模、共轭和逆元（2 分），以及 D < 0 的二次方程（2–3 分）。最后的答案一定要写成 a + ib 的形式。
重点公式和概念
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
例题讲解
1. 求 i⁵⁷ 和 i⁻³。
57 = 4 × 14 + 1，所以 i⁵⁷ = i¹ = i。i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i。分子分母同乘 i：−i/i² = −i/(−1) = i。所以 i⁻³ = i。
2. 化简 (5 − 3i) + (−2 + 7i) 和 (5 − 3i) − (−2 + 7i)。
和：实部 5 + (−2) = 3，虚部 −3 + 7 = 4，所以是 3 + 4i。差：实部 5 − (−2) = 7，虚部 −3 − 7 = −10，所以是 7 − 10i。
3. 计算 (2 + 3i)(4 − i)。
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i²。代入 i² = −1：8 + 3 + 10i = 11 + 10i。
4. 求 z = 3 − 4i 的模、共轭复数和乘法逆元。
|z| = √(9 + 16) = 5。z̄ = 3 + 4i。z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i。检验：(3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1。
5. 把 (1 + 2i)/(3 − i) 写成 a + ib 的形式。
分子分母同乘 3 + i。分母：9 + 1 = 10。分子：(1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i。答案：1/10 + (7/10)i。
6. 解方程 2x² − 2x + 1 = 0。
a = 2，b = −2，c = 1。D = 4 − 8 = −4 < 0，所以 √D = 2i。x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i。两个根 1/2 + i/2 和 1/2 − i/2 互为共轭。
7. 若 (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i，求实数 x 和 y。
两个复数相等，则对应部分相等：x + 2y = 5，2x − y = 5。由第二式得 y = 2x − 5。代入：x + 4x − 10 = 5，所以 x = 3，y = 1。
8. 若 (a + ib)/(c + id) = x + iy，证明 (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y²。
两边取模：|a + ib|/|c + id| = |x + iy|。所以 √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²)。两边平方即得结论。
常见错误
- 把 i² 写成 1。正确的是 i² = −1；这正是 i 存在的原因。
- 写 √(−4)·√(−9) = √36 = 6。两个数都是负数时，要先写成 2i · 3i = 6i² = −6。
- 直接除以一个复数。一定要分子分母同乘分母的共轭复数。
- 说 3 + 2i > 1 + i。非实数的复数不能比大小；应该比较它们的模。