Зачем нужны комплексные числа?
Возведите в квадрат любое действительное число: 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0. Ответ никогда не отрицателен. Значит, у уравнения x² = −1, то есть x² + 1 = 0, нет действительного решения.
Математики решили это, добавив одно новое число. Его называют мнимой единицей и обозначают i, причём i² = −1. Значит, √(−1) = i, а √(−9) = √9 · i = 3i.
Комплексное число — это любое число z = a + ib, где a и b действительные. Число a называют действительной частью, Re(z), а b — мнимой частью, Im(z). Действительные числа — это комплексные числа с b = 0, так что ничего старого мы не теряем. Посмотрите шаг 1 в 3D: i — это четверть оборота числа 1.
Степени i
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Дальше значения повторяются. Чтобы найти iⁿ, разделите n на 4 и используйте остаток: i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i. Пример: i¹⁰² → 102 = 4 × 25 + 2, поэтому i¹⁰² = −1.
Осторожно: равенство √a · √b = √(ab) верно, только если a и b не отрицательны одновременно. Например, √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6, а не √36 = 6.
Действия с комплексными числами
- Равенство: a + ib = c + id только если a = c и b = d.
- Сложение: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Оно замкнуто, коммутативно и ассоциативно; 0 — нейтральный элемент, а −z — противоположное число.
- Вычитание: (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
- Умножение: раскройте скобки и подставьте i² = −1: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). Оно тоже коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения; 1 — нейтральный элемент.
- Обратное число: для z = a + ib ≠ 0 имеем z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²).
- Деление: z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. На практике умножают числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Формулы вроде (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² работают и для комплексных чисел.
Сопряжённое число и модуль
Сопряжённое число для z = a + ib — это z̄ = a − ib (меняем знак мнимой части). Модуль — это |z| = √(a² + b²). Полезные факты: z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
Два недействительных комплексных числа нельзя назвать «больше» или «меньше»: запись 2 + i > 1 + 3i не имеет смысла. Сравнивать можно только их модули.
Плоскость Аргана
Проведите две перпендикулярные оси. Горизонтальная — это действительная ось, вертикальная — мнимая ось. Число z = a + ib — это точка (a, b). Такую картинку называют плоскостью Аргана (или комплексной плоскостью).
- Действительные числа (например, 4) лежат на действительной оси; чисто мнимые числа (например, 3i) — на мнимой оси.
- |z| — расстояние от точки до начала координат O по теореме Пифагора (шаг 5 в 3D).
- z̄ — зеркальное отражение z относительно действительной оси.
- z₁ + z₂ — четвёртая вершина параллелограмма, построенного на O, z₁ и z₂ (шаг 3).
- Умножение на i поворачивает точку на 90° против часовой стрелки вокруг O (шаг 4).
Квадратные уравнения с комплексными корнями
Для ax² + bx + c = 0 (a, b, c действительные) корни равны x = (−b ± √D)/2a, где D = b² − 4ac.
- D > 0: два разных действительных корня. D = 0: два равных действительных корня.
- D < 0: √D = i√(−D), поэтому корни x = (−b ± i√(−D))/2a. Они комплексные и всегда образуют сопряжённую пару.
Пример: x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Проверьте в свободной игре.
На что обратить внимание на экзамене
В 11 классе (по программе CBSE) на алгебру приходится около 25 баллов. Из этой главы ждите: степени i (1 балл), запись частного в виде a + ib (2–3 балла), модуль, сопряжённое и обратное число (2 балла), решение квадратных уравнений с D < 0 (2–3 балла). Окончательный ответ всегда записывайте в виде a + ib.
Главные формулы и определения
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
Разобранные примеры
1. Найдите i⁵⁷ и i⁻³.
57 = 4 × 14 + 1, поэтому i⁵⁷ = i¹ = i. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i. Умножим числитель и знаменатель на i: −i/i² = −i/(−1) = i. Значит, i⁻³ = i.
2. Упростите (5 − 3i) + (−2 + 7i) и (5 − 3i) − (−2 + 7i).
Сумма: действительная часть 5 + (−2) = 3, мнимая −3 + 7 = 4, итого 3 + 4i. Разность: действительная часть 5 − (−2) = 7, мнимая −3 − 7 = −10, итого 7 − 10i.
3. Умножьте (2 + 3i)(4 − i).
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². Подставим i² = −1: 8 + 3 + 10i = 11 + 10i.
4. Найдите модуль, сопряжённое и обратное число для z = 3 − 4i.
|z| = √(9 + 16) = 5. z̄ = 3 + 4i. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i. Проверка: (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. Запишите (1 + 2i)/(3 − i) в виде a + ib.
Умножим числитель и знаменатель на 3 + i. Знаменатель: 9 + 1 = 10. Числитель: (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. Ответ: 1/10 + (7/10)i.
6. Решите 2x² − 2x + 1 = 0.
a = 2, b = −2, c = 1. D = 4 − 8 = −4 < 0, поэтому √D = 2i. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i. Корни 1/2 + i/2 и 1/2 − i/2 сопряжены.
7. Найдите действительные x и y, если (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i.
У равных комплексных чисел равны части: x + 2y = 5 и 2x − y = 5. Из второго y = 2x − 5. Тогда x + 4x − 10 = 5, значит x = 3 и y = 1.
8. Если (a + ib)/(c + id) = x + iy, докажите, что (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y².
Возьмём модуль обеих частей: |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. Значит, √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²). Возведя обе части в квадрат, получаем нужное равенство.
Частые ошибки
- Писать i² = 1. На самом деле i² = −1; именно ради этого и появилось i.
- Считать √(−4)·√(−9) = √36 = 6. Если оба числа отрицательны, сначала запишите 2i · 3i = 6i² = −6.
- Делить на комплексное число напрямую. Всегда умножайте числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
- Говорить, что 3 + 2i > 1 + i. Недействительные комплексные числа нельзя упорядочить; сравнивайте модули.