Что такое модуль числа?
Отметь число на числовой прямой. Посчитай шаги до 0. Это количество шагов и есть его модуль (его ещё называют абсолютной величиной). Пишем его двумя чертами: |x|.
Значит, |5| = 5 и |-5| = 5. Оба числа в 5 шагах от 0. |0| = 0.
В символах: |x| = x, если x равно 0 или положительно, и |x| = -x, если x отрицательно. «Минус» в -x превращает отрицательное число в положительное, поэтому |x| никогда не бывает меньше 0.
Расстояние между двумя числами: |x - a|
Расстояние между x и a на прямой равно |x - a|. Оно такое же, как |a - x|. Пример: расстояние от 2 до 9 равно |9 - 2| = 7. От -4 до 3 оно равно |3 - (-4)| = 7.
Запомни: |x| — это просто |x - 0|, расстояние от 0.
Как решать |x + a| = b
Читай |x - c| = b так: «x находится в b шагах от c». Отойди на b шагов вправо и на b шагов влево от c. Получаются два ответа: x = c + b и x = c - b.
Для |x + 3| = 5: запиши как |x - (-3)| = 5. Тогда x = -3 + 5 = 2 или x = -3 - 5 = -8. Проверка: |2 + 3| = 5 и |-8 + 3| = 5.
Если b отрицательно, ответов нет, ведь расстояние не может быть отрицательным. Если b = 0, ответ один: x = c.
Промежутки на числовой прямой
Промежуток — это все числа между двумя концами.
- [a, b] закрытый: a и b входят (закрашенные точки). Значит, a ≤ x ≤ b.
- (a, b) открытый: a и b не входят (пустые точки). Значит, a < x < b.
- [a, b) и (a, b] — полуоткрытые.
- (a, ∞): все числа больше a. Знак ∞ значит «продолжается бесконечно». Рядом с ним всегда круглая скобка.
Связь с модулем: |x - c| < r значит c - r < x < c + r, то есть промежуток (c - r, c + r). А |x - c| > r значит, что x вне этого промежутка: x < c - r или x > c + r.
Попробуй сам: пройди по прямой
Нарисуй мелом на полу прямую и отметь числа от -5 до 5. Встань на 0. Сделай 4 шага вправо, потом вернись на 0 и сделай 4 шага влево. Где ты оказался? В точках 4 и -4. Для обеих |x| = 4. Теперь догадайся, прежде чем двигать ползунок: где должно быть x, чтобы |x - 2| = 3? Проверь в 3D.
Главные формулы и определения
- |x| = x if x ≥ 0; |x| = -x if x < 0
- |x - a| = distance between x and a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b or x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r or x > c + r
- [a, b] includes both ends; (a, b) includes neither
Разобранные примеры
1. Найди |-7|, |4| и |0|.
|-7| = 7 (7 шагов от 0). |4| = 4. |0| = 0.
2. Найди расстояние между -2 и 5.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. Реши |x| = 6.
x в 6 шагах от 0, поэтому x = 6 или x = -6.
4. Реши |x + 4| = 3.
Запиши как |x - (-4)| = 3. x = -4 + 3 = -1 или x = -4 - 3 = -7. Проверка: |-1 + 4| = 3 и |-7 + 4| = 3.
5. Запиши 2 < x ≤ 9 как промежуток и скажи, какие точки закрашены.
(2, 9]. Точка в 2 пустая (2 не входит). Точка в 9 закрашена.
6. Реши |2x - 5| = 7.
2x - 5 = 7 даёт x = 6. 2x - 5 = -7 даёт x = -1. Проверка: |12 - 5| = 7 и |-2 - 5| = 7.
7. Запиши |x - 1| < 3 как промежуток.
1 - 3 < x < 1 + 3, значит (-2, 4).
8. Реши |x - 2| = |x + 6|.
x одинаково далеко от 2 и от -6, значит это середина: (2 + (-6)) / 2 = -2. Проверка: |-4| = 4 и |4| = 4.
Частые ошибки
- Писать |-5| = -5. Модуль никогда не бывает отрицательным: |-5| = 5.
- Давать только один ответ для |x - c| = b. Есть два места: c + b и c - b.
- Ставить квадратную скобку рядом с ∞. Бесконечность — не число, поэтому всегда пиши ∞).
- Решать |x + 3| = 5 как x = 3 + 5. Центр равен -3, а не 3. Запиши x + 3 как x - (-3).