Сложные функции: внутри и снаружи
Сложная функция f(g(x)) значит: сначала считаем g, потом подставляем ответ в f. Если f(x) = x² и g(x) = x − 2, то f(g(x)) = (x − 2)². Если сделать наоборот, получим g(f(x)) = x² − 2, а это уже другой график.
Быстрые правила для графика y = f(x):
- f(x − h): сдвиг вправо на h (внутри, вбок, против знака).
- f(x) + k: сдвиг вверх на k (снаружи).
- −f(x): отражение относительно оси x. f(−x): отражение относительно оси y.
- a·f(x): растяжение вверх и вниз. f(bx): сжатие вбок.
Все преобразования собраны в отдельном уроке: Преобразования функций.
Модуль на графике: |f(x)| и f(|x|)
Модуль |a| это величина числа a без знака: |−3| = 3.
|f(x)| (снаружи): нарисуй y = f(x). Части на оси x и выше оставь. Части ниже оси переверни вверх (зеркало относительно оси x). Результат никогда не уходит ниже нуля.
f(|x|) (внутри): нарисуй y = f(x) только для x ≥ 0. Левую часть выбрось и замени зеркальной копией правой. Результат симметричен относительно оси y (чётная функция).
Пример: у y = |x² − 2| нули в точках ±√2, а пик равен 2 при x = 0. У y = (|x| − 1)² нули в точках ±1, и y = 1 при x = 0.
Геометрический образ уравнения
Геометрический образ (график) уравнения с x и y это множество всех точек (x, y), для которых уравнение верно.
- x² + y² = r²: окружность с центром (0, 0) и радиусом r. Каждая точка на расстоянии r от центра.
- |x| + |y| = r: ромб (квадрат, повёрнутый на 45°) с вершинами (±r, 0) и (0, ±r). Его площадь равна 2r².
- y² = x: парабола, лежащая на боку. Это объединение y = √x и y = −√x.
Совет: чтобы нарисовать |x| + |y| = r, нарисуй x + y = r только в первой четверти (x, y ≥ 0), а потом отрази в остальные три четверти.
Тест вертикальной прямой: если какая-то вертикальная прямая пересекает картинку дважды, то у одного x два значения y, и это не график функции. Окружность и y² = x не проходят тест; y = x² и y = |x| проходят.
План построения графика
- Найди область определения (какие x разрешены).
- Отметь точки пересечения с осями.
- Проверь симметрию (чётная: зеркало относительно оси y).
- Отметь несколько ключевых точек и соедини их плавной линией.
Графики ещё и считают решения: сколько раз y = f(x) пересекает y = g(x), столько решений у уравнения f(x) = g(x).
Попробуй: сначала предскажи, потом проверь
На 3D-доске выбери y = (x − h)². Угадай, куда уйдёт самая нижняя точка при h = 3, потом подвинь h до 3. Выбери |x| + |y| = r и угадай площадь при r = 3 (ответ 18). Дома: сложи лист бумаги пополам, нарисуй половину сердечка на одной стороне, вырежи по линии и разверни. Линия сгиба это твоя ось y, и ты только что сделал f(|x|).
Главные формулы и определения
- f(x − h): сдвиг вправо на h; f(x) + k: сдвиг вверх на k
- |f(x)|: часть под осью x переворачивается вверх
- f(|x|): оставить x ≥ 0 и отразить на x < 0
- x² + y² = r²: окружность, центр (0, 0), радиус r
- |x| + |y| = r: ромб, площадь 2r²
- Тест вертикальной прямой: одному x соответствует один y
Разобранные примеры
1. f(x) = x², g(x) = x − 2. Найди f(g(x)) и g(f(x)).
f(g(x)) = (x − 2)² : парабола x², сдвинутая на 2 вправо, самая нижняя точка (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : парабола, сдвинутая на 2 вниз, самая нижняя точка (0, −2). Это разные графики.
2. Построй y = |x² − 2|. Назови нули и пересечение с осью y.
Сначала нарисуй x² − 2 (самая нижняя точка (0, −2), нули ±√2 ≈ ±1.41). Переверни вверх провал между нулями: точка (0, −2) переходит в (0, 2). Нули ±√2, пересечение с осью y равно 2.
3. Построй y = (|x| − 1)².
При x ≥ 0 это (x − 1)²: самая нижняя точка (1, 0), а при x = 0 значение равно 1. Отрази влево: нули при x = ±1, пересечение с осью y равно 1, маленький горб в точке (0, 1), как буква W.
4. Нарисуй |x| + |y| = 2 и найди площадь.
Вершины (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). Это квадрат с диагоналями длиной 4. Площадь = ½ × 4 × 4 = 8 (также 2r² = 2 × 4 = 8).
5. На окружности x² + y² = 9 найди y при x = 2.
4 + y² = 9, значит y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24. Две точки: одна на верхней половине, другая на нижней.
6. Является ли график y² = x графиком функции y = f(x)?
Нет. Вертикальная прямая x = 4 пересекает его при y = 2 и y = −2: один x, два y. Это два графика функций вместе: y = √x (верхний) и y = −√x (нижний).
7. Сколько решений у уравнения (x − 2)² = |x|?
Нарисуй y = (x − 2)² и y = |x|. При x ≥ 0: x² − 4x + 4 = x даёт x² − 5x + 4 = 0, значит x = 1 или 4. При x < 0: x² − 3x + 4 = 0 имеет D = 9 − 16 < 0, корней нет. Итого 2 решения. График показывает то же самое: две точки встречи справа.
8. f(x) = √x и g(x) = x² − 4. Найди область определения f(g(x)).
f(g(x)) = √(x² − 4). Нужно x² − 4 ≥ 0, значит x ≤ −2 или x ≥ 2. У графика две отдельные ветви: одна начинается в (2, 0) и идёт вправо, другая начинается в (−2, 0) и идёт влево.
Частые ошибки
- Двигать (x − 2)² влево. Минус внутри сдвигает график вправо.
- Путать f(g(x)) и g(f(x)). Порядок важен: внутренняя функция считается первой.
- Думать, что |f(x)| и f(|x|) одно и то же. Первая переворачивает нижнюю часть вверх, вторая отражает правую сторону.
- Называть любую кривую графиком функции. Окружность не проходит тест вертикальной прямой.