Funzioni composte: dentro e fuori
Una funzione composta f(g(x)) significa: prima si applica g, poi si dà il risultato a f. Se f(x) = x² e g(x) = x − 2, allora f(g(x)) = (x − 2)². Facendo l'ordine inverso si ottiene g(f(x)) = x² − 2, che è un grafico diverso.
Regole veloci per il grafico di y = f(x):
- f(x − h): scivola a destra di h (dentro, di lato, al contrario del segno).
- f(x) + k: scivola in su di k (fuori).
- −f(x): ribaltamento rispetto all'asse x. f(−x): ribaltamento rispetto all'asse y.
- a·f(x): allungamento in verticale. f(bx): compressione in orizzontale.
L'insieme completo delle mosse ha una lezione dedicata: Trasformazioni di funzioni.
Valore assoluto in un grafico: |f(x)| e f(|x|)
Il valore assoluto |a| è la grandezza di a senza il segno: |−3| = 3.
|f(x)| (fuori): disegna y = f(x). Tieni le parti sull'asse x o sopra di esso. Ribalta verso l'alto le parti sotto (specchio rispetto all'asse x). Il risultato non scende mai sotto zero.
f(|x|) (dentro): disegna y = f(x) solo per x ≥ 0. Butta via la parte sinistra e sostituiscila con una copia speculare della destra. Il risultato è simmetrico rispetto all'asse y (una funzione pari).
Esempio: y = |x² − 2| ha zeri in ±√2 e un picco di valore 2 in x = 0. y = (|x| − 1)² ha zeri in ±1 e y = 1 in x = 0.
Immagine geometrica di un'equazione
L'immagine geometrica (grafico) di un'equazione in x e y è l'insieme di tutti i punti (x, y) che la rendono vera.
- x² + y² = r²: una circonferenza con centro (0, 0) e raggio r. Ogni punto è a distanza r dal centro.
- |x| + |y| = r: un rombo (un quadrato ruotato di 45°) con vertici (±r, 0) e (0, ±r). La sua area è 2r².
- y² = x: una parabola coricata su un lato. È l'unione di y = √x e y = −√x.
Consiglio: per disegnare |x| + |y| = r, traccia x + y = r solo nel primo quadrante (x, y ≥ 0), poi rifletti la figura negli altri tre quadranti.
Test della retta verticale: se una retta verticale incontra la figura due volte, a una x corrispondono due y, quindi non è il grafico di una funzione. La circonferenza e y² = x non lo superano; y = x² e y = |x| sì.
Un piano per disegnare i grafici
- Trova il dominio (quali x sono ammesse).
- Segna le intersezioni (dove taglia gli assi).
- Controlla la simmetria (pari: specchio rispetto all'asse y).
- Segna qualche punto chiave e uniscili con una linea morbida.
I grafici servono anche a contare le soluzioni: il numero di volte in cui y = f(x) incontra y = g(x) è il numero di soluzioni di f(x) = g(x).
Prova tu: prevedi, poi controlla
Nella lavagna 3D scegli y = (x − h)². Indovina dove va il punto più basso quando h = 3, poi porta h a 3. Scegli |x| + |y| = r e indovina l'area per r = 3 (risposta 18). A casa: piega a metà un foglio, disegna metà di un cuore su un lato, ritaglia lungo la linea e aprilo. La piega è il tuo asse y e hai appena costruito f(|x|).
Formule e definizioni chiave
- f(x − h): spostamento a destra di h; f(x) + k: spostamento in su di k
- |f(x)|: ribalta in su la parte sotto l'asse x
- f(|x|): tieni x ≥ 0 e riflettila per x < 0
- x² + y² = r²: circonferenza, centro (0, 0), raggio r
- |x| + |y| = r: rombo, area 2r²
- Test della retta verticale: a una x deve corrispondere una sola y
Esempi svolti
1. f(x) = x², g(x) = x − 2. Trova f(g(x)) e g(f(x)).
f(g(x)) = (x − 2)² : la parabola x² spostata di 2 a destra, punto più basso (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : la parabola spostata di 2 in giù, punto più basso (0, −2). Sono diverse.
2. Disegna y = |x² − 2|. Indica gli zeri e l'intersezione con l'asse y.
Disegna prima x² − 2 (punto più basso (0, −2), zeri ±√2 ≈ ±1.41). Ribalta verso l'alto la conca tra gli zeri: il punto (0, −2) diventa (0, 2). Zeri ±√2, intersezione con l'asse y uguale a 2.
3. Disegna y = (|x| − 1)².
Per x ≥ 0 è (x − 1)²: punto più basso (1, 0), e per x = 0 il valore è 1. Riflettila a sinistra: zeri in x = ±1, intersezione con l'asse y uguale a 1, una piccola gobba in (0, 1) come la lettera W.
4. Disegna |x| + |y| = 2 e trova la sua area.
Vertici in (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). È un quadrato con diagonali lunghe 4. Area = ½ × 4 × 4 = 8 (anche 2r² = 2 × 4 = 8).
5. Sulla circonferenza x² + y² = 9, trova y quando x = 2.
4 + y² = 9, quindi y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24. Due punti: uno sulla metà superiore, uno su quella inferiore.
6. Il grafico di y² = x è il grafico di una funzione y = f(x)?
No. La retta verticale x = 4 lo taglia in y = 2 e y = −2: una x, due y. Sono due grafici di funzione insieme: y = √x (sopra) e y = −√x (sotto).
7. Quante soluzioni ha (x − 2)² = |x|?
Disegna y = (x − 2)² e y = |x|. Per x ≥ 0: x² − 4x + 4 = x dà x² − 5x + 4 = 0, quindi x = 1 oppure 4. Per x < 0: x² − 3x + 4 = 0 ha D = 9 − 16 < 0, nessuna soluzione. Quindi 2 soluzioni. Il grafico mostra lo stesso: due punti d'incontro a destra.
8. f(x) = √x e g(x) = x² − 4. Trova il dominio di f(g(x)).
f(g(x)) = √(x² − 4). Serve x² − 4 ≥ 0, quindi x ≤ −2 oppure x ≥ 2. Il grafico ha due rami separati: uno parte da (2, 0) e va verso destra, l'altro parte da (−2, 0) e va verso sinistra.
Errori comuni
- Spostare (x − 2)² a sinistra. Il segno meno dentro sposta il grafico a destra.
- Confondere f(g(x)) con g(f(x)). L'ordine conta: quella interna si calcola per prima.
- Pensare che |f(x)| e f(|x|) siano uguali. Una ribalta la parte bassa verso l'alto; l'altra riflette il lato destro.
- Chiamare grafico di funzione ogni curva. Una circonferenza non supera il test della retta verticale.