Che cos'è un parametro?
In x² = 9 il numero 9 è fisso. In x² = a la lettera a è un parametro: un numero fisso che non abbiamo ancora scelto. L'incognita che cerchiamo resta x.
Quindi la risposta non è un solo numero. La risposta dice come le soluzioni dipendono da a. Per esempio: "se a < 0 non c'è soluzione; se a = 0 ce n'è una; se a > 0 ce ne sono due".
Il metodo grafico: far scorrere la retta y = a
Il metodo grafico in quattro mosse:
- Sposta tutto in modo che l'equazione diventi f(x) = a (a da sola da un lato).
- Disegna una sola volta la curva y = f(x). Non dipende da a.
- Disegna la retta orizzontale y = a. Cambiando a, sale o scende.
- Conta i punti di incontro per ogni posizione. Scrivi gli intervalli di a in cui il numero resta lo stesso e i valori speciali in cui cambia.
Esempio: |x² − 4| = a. La curva ha forma di W con i punti bassi in (−2, 0), (2, 0) e un picco in (0, 4).
- a < 0: 0 soluzioni
- a = 0: 2 soluzioni (x = ±2)
- 0 < a < 4: 4 soluzioni
- a = 4: 3 soluzioni
- a > 4: 2 soluzioni
Quando a è dentro la formula: il discriminante
Per x² − 4x + a = 0 il numero di radici dipende dal discriminante D = b² − 4ac = 16 − 4a.
- D > 0, cioè a < 4: due radici.
- D = 0, cioè a = 4: una radice.
- D < 0, cioè a > 4: nessuna radice reale.
Per "x² + 2ax + 4 > 0 per ogni x" servono nessuna radice e la parabola sopra l'asse: D = 4a² − 16 < 0, quindi −2 < a < 2.
Si può anche disegnare: x² − 4x = −a è la parabola con punto più basso −4 e una retta all'altezza −a.
Disequazioni e casi
In ax > 2 il segno di a decide la risposta, quindi dividiamo in casi:
- a > 0: dividi e mantieni il verso: x > 2/a.
- a < 0: dividi e inverti il verso: x < 2/a.
- a = 0: diventa 0 > 2, falso: nessuna soluzione.
Dì sempre cosa succede per a = 0 e per i valori speciali trovati. Una risposta completa elenca tutti i casi.
Prova tu: prevedi, poi controlla
Apri la lavagna 3D su |x − 1| + |x + 1| = a. Prima di muovere la retta, indovina quante soluzioni dà a = 1. Poi portala su a = 1 e leggi il risultato. Prova a = 2 e a = 3. A casa: riempi una ciotola d'acqua e guarda la superficie che tocca la parete. Una ciotola profonda tocca in due punti; una ciotola con il fondo piatto può toccare lungo un'intera linea. È lo stesso disegno.
Formule e definizioni chiave
- f(x) = a: soluzioni = punti di incontro di y = f(x) e y = a
- D = b² − 4ac: D > 0 due radici, D = 0 una radice, D < 0 nessuna
- x² + bx + c > 0 per ogni x ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → verifica 0 > c
Esempi svolti
1. Quante soluzioni ha x² = a?
Disegna y = x² e la retta y = a. Se a < 0 la retta è sotto la curva: 0 soluzioni. Se a = 0 tocca il fondo: 1 soluzione. Se a > 0 taglia in due punti: 2 soluzioni (x = ±√a).
2. Per quali a l'equazione x² − 4x + a = 0 ha due radici diverse?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a. Due radici diverse richiedono D > 0, quindi 16 − 4a > 0, quindi a < 4.
3. Discuti |x| = a.
La curva y = |x| è una V con la punta in (0, 0). a < 0: nessuna soluzione. a = 0: una (x = 0). a > 0: due (x = ±a).
4. Quante soluzioni ha |x² − 4| = a quando a = 2?
x² − 4 = 2 dà x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2 dà x² = 2, x = ±√2. Quattro soluzioni diverse.
5. Trova il numero di soluzioni di x² − 2x = a per ogni a.
x² − 2x = (x − 1)² − 1, una parabola con punto più basso (1, −1). a < −1: nessuna. a = −1: una (x = 1). a > −1: due.
6. Risolvi ax > 2 per tutti i valori di a.
a > 0: x > 2/a. a < 0: dividendo per a il verso si inverte, x < 2/a. a = 0: 0 > 2 è falso, quindi nessuna soluzione.
7. Per quali a vale x² + 2ax + 4 > 0 per ogni x?
La parabola è rivolta verso l'alto. Resta sopra l'asse se non ha radici reali: D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, quindi a² < 4, quindi −2 < a < 2.
8. Per quali a l'equazione |x − 1| + |x + 1| = a ha esattamente due soluzioni?
La curva è piatta all'altezza 2 tra x = −1 e 1, poi sale con pendenza 2 da entrambi i lati. a < 2: nessuna. a = 2: infinite. a > 2: due soluzioni x = ±a/2. Quindi a > 2.
Errori comuni
- Dare un solo numero come risposta. In un problema con parametro la risposta è un elenco di casi per a.
- Dimenticare i valori speciali, come l'a in cui la retta tocca la curva una sola volta.
- Dividere per a senza controllare a = 0 e il segno di a.
- Contare due volte un punto di tangenza. Un contatto è una soluzione (radice doppia), non due.