매개변수란 무엇일까요?
x² = 9에서 9는 정해진 수예요. 하지만 x² = a에서 문자 a는 매개변수예요. 아직 고르지 않았을 뿐 하나로 정해진 수이지요. 우리가 푸는 미지수는 여전히 x예요.
그래서 답은 수 하나가 아니에요. 답은 해가 a에 따라 어떻게 달라지는지를 말해요. 예를 들면 "a < 0이면 해가 없고, a = 0이면 1개, a > 0이면 2개"처럼요.
그래프 방법: 직선 y = a를 움직이기
그래프 방법은 네 단계예요.
- 식을 정리해서 f(x) = a 꼴로 만들어요 (a를 한쪽에 혼자 두어요).
- 곡선 y = f(x)를 한 번만 그려요. 이 곡선은 a와 상관없어요.
- 가로선 y = a를 그려요. a를 바꾸면 직선이 위아래로 움직여요.
- 직선의 위치마다 만나는 점의 개수를 세요. 개수가 같게 유지되는 a의 범위와 개수가 바뀌는 특별한 값을 적어요.
예: |x² − 4| = a. 곡선은 W 모양이고 낮은 점은 (−2, 0), (2, 0), 봉우리는 (0, 4)예요.
- a < 0: 해 0개
- a = 0: 해 2개 (x = ±2)
- 0 < a < 4: 해 4개
- a = 4: 해 3개
- a > 4: 해 2개
a가 식 안에 들어 있을 때: 판별식
x² − 4x + a = 0에서 근의 개수는 판별식 D = b² − 4ac = 16 − 4a에 달려 있어요.
- D > 0, 즉 a < 4: 근 2개.
- D = 0, 즉 a = 4: 근 1개.
- D < 0, 즉 a > 4: 실근 없음.
"모든 x에 대해 x² + 2ax + 4 > 0"이 되려면 근이 없고 포물선이 x축 위에 있어야 해요. D = 4a² − 16 < 0이므로 −2 < a < 2예요.
그림으로도 풀 수 있어요. x² − 4x = −a는 가장 낮은 점이 −4인 포물선과 높이 −a인 직선이에요.
부등식과 경우 나누기
ax > 2에서는 a의 부호가 답을 정해요. 그래서 경우를 나눠요.
- a > 0: 나누고 부등호 방향 그대로: x > 2/a.
- a < 0: 나누고 부등호 방향 뒤집기: x < 2/a.
- a = 0: 0 > 2가 되어 거짓이므로 해가 없어요.
a = 0일 때와 찾아낸 특별한 값에서 어떻게 되는지 꼭 말하세요. 완전한 답은 모든 경우를 적어요.
해 보기: 먼저 예상하고 확인하기
3D 보드에서 |x − 1| + |x + 1| = a를 열어 보세요. 움직이기 전에 a = 1일 때 해가 몇 개일지 짐작해 보세요. 그다음 a = 1로 움직여 읽어 보세요. a = 2와 a = 3도 해 보세요. 집에서는 그릇에 물을 채우고 물 표면이 벽에 닿는 모습을 보세요. 깊은 그릇은 두 곳에서 닿고, 바닥이 평평한 그릇은 선 전체에서 닿을 수 있어요. 같은 그림이에요.
핵심 공식과 정의
- f(x) = a: 해의 개수 = y = f(x)와 y = a가 만나는 점의 개수
- D = b² − 4ac: D > 0 근 2개, D = 0 근 1개, D < 0 근 없음
- x² + bx + c > 0 (모든 x) ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → 0 > c인지 확인
풀이 예제
1. x² = a는 해가 몇 개일까요?
y = x²과 직선 y = a를 그려요. a < 0이면 직선이 곡선 아래에 있어서 해 0개. a = 0이면 맨 아래에 닿아서 해 1개. a > 0이면 두 번 만나서 해 2개 (x = ±√a)예요.
2. x² − 4x + a = 0이 서로 다른 두 근을 가지려면 a는 얼마일까요?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a예요. 서로 다른 두 근이면 D > 0이므로 16 − 4a > 0, 즉 a < 4예요.
3. |x| = a를 논의해 보세요.
곡선 y = |x|는 꼭짓점이 (0, 0)인 V 모양이에요. a < 0: 없음. a = 0: 1개 (x = 0). a > 0: 2개 (x = ±a)예요.
4. a = 2일 때 |x² − 4| = a의 해는 몇 개일까요?
x² − 4 = 2에서 x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2에서 x² = 2, x = ±√2. 서로 다른 해가 4개예요.
5. 각 a에 대해 x² − 2x = a의 해의 개수를 구하세요.
x² − 2x = (x − 1)² − 1이므로 가장 낮은 점이 (1, −1)인 포물선이에요. a < −1: 없음. a = −1: 1개 (x = 1). a > −1: 2개예요.
6. a의 모든 값에 대해 ax > 2를 푸세요.
a > 0: x > 2/a. a < 0: a로 나누면 부등호가 뒤집혀서 x < 2/a. a = 0: 0 > 2는 거짓이므로 해가 없어요.
7. 모든 x에 대해 x² + 2ax + 4 > 0이 되는 a는 얼마일까요?
포물선이 위로 열려 있어요. 실근이 없으면 x축 위에 있어요. D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0이므로 a² < 4, 즉 −2 < a < 2예요.
8. |x − 1| + |x + 1| = a가 해를 정확히 2개 가지려면 a는 얼마일까요?
곡선은 x = −1과 1 사이에서 높이 2로 평평하고, 양쪽에서 기울기 2로 올라가요. a < 2: 없음. a = 2: 무수히 많음. a > 2: 해 2개, x = ±a/2. 그러므로 a > 2예요.
자주 하는 실수
- 답을 수 하나로 쓰는 것. 매개변수 문제의 답은 a에 대한 경우별 목록이에요.
- 특별한 값을 빠뜨리는 것. 예를 들어 직선이 곡선에 한 번만 닿는 a가 있어요.
- a = 0인지, a의 부호가 어떤지 확인하지 않고 a로 나누는 것.
- 닿는 점을 두 번 세는 것. 닿는 것은 해 1개(중근)이지 2개가 아니에요.