왜 복소수가 필요할까요?
실수를 제곱해 보세요. 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0이에요. 답이 음수인 경우는 없어요. 그래서 x² = −1, 즉 x² + 1 = 0은 실수 해가 없어요.
수학자들은 새로운 수 하나를 더해서 이 문제를 풀었어요. 이 수를 허수 단위라 하고 i로 써요. i² = −1이에요. 그래서 √(−1) = i이고, √(−9) = √9 · i = 3i예요.
복소수는 a, b가 실수일 때 z = a + ib 꼴의 수예요. a를 실수부분 Re(z), b를 허수부분 Im(z)라고 해요. b = 0이면 실수이므로 원래 쓰던 수도 모두 복소수예요. 3D의 1단계를 보세요. i는 1을 4분의 1바퀴 돌린 거예요.
i의 거듭제곱
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1이에요. 그 뒤로는 같은 패턴이 반복돼요. iⁿ을 구하려면 n을 4로 나눈 나머지를 보세요. i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i예요. 예: i¹⁰²는 102 = 4 × 25 + 2이므로 i¹⁰² = −1이에요.
주의: √a · √b = √(ab)는 a와 b가 둘 다 음수가 아닐 때만 맞아요. 예를 들어 √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6이지, √36 = 6이 아니에요.
복소수의 계산
- 같음: a + ib = c + id는 a = c이고 b = d일 때만 성립해요.
- 덧셈: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). 닫혀 있고, 교환법칙과 결합법칙이 성립해요. 0은 항등원이고 −z는 덧셈의 역원이에요.
- 뺄셈: (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
- 곱셈: 괄호를 전개하듯 곱하고 i² = −1을 넣어요. (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). 교환법칙, 결합법칙, 덧셈에 대한 분배법칙이 성립하고 1은 항등원이에요.
- 곱셈의 역원: z = a + ib ≠ 0이면 z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²).
- 나눗셈: z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. 실제로는 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱해요.
(z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² 같은 곱셈 공식은 복소수에서도 그대로 성립해요.
켤레복소수와 절댓값
z = a + ib의 켤레복소수는 z̄ = a − ib예요(허수부분의 부호만 바꿔요). 절댓값은 |z| = √(a² + b²)예요. 쓸모 있는 성질: z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
허수가 섞인 두 복소수 사이에는 ‘더 크다, 더 작다’가 없어요. 2 + i > 1 + 3i는 의미가 없어요. 절댓값끼리만 비교할 수 있어요.
복소평면
서로 수직인 두 축을 그려요. 가로축은 실수축, 세로축은 허수축이에요. 복소수 z = a + ib는 점 (a, b)예요. 이 그림을 복소평면(아르강 평면)이라고 해요.
- 4 같은 실수는 실수축 위에 있고, 3i 같은 순허수는 허수축 위에 있어요.
- |z|는 원점 O에서 점까지의 거리예요. 피타고라스 정리를 쓴 거예요(3D의 5단계).
- z̄는 z를 실수축에 대해 대칭 이동한 점이에요.
- z₁ + z₂는 O, z₁, z₂로 만든 평행사변형의 네 번째 꼭짓점이에요(3단계).
- i를 곱하면 점이 O를 중심으로 시계 반대 방향으로 90° 돌아요(4단계).
복소수 해를 갖는 이차방정식
a, b, c가 실수인 ax² + bx + c = 0의 해는 x = (−b ± √D)/2a이고 D = b² − 4ac예요.
- D > 0: 서로 다른 두 실근. D = 0: 중근.
- D < 0: √D = i√(−D)이므로 해는 x = (−b ± i√(−D))/2a예요. 복소수이고 언제나 서로 켤레예요.
예: x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. 자유 실험에서 직접 해 보세요.
시험 대비 포인트
이 단원에서는 i의 거듭제곱(1점), 분수를 a + ib 꼴로 바꾸기(2~3점), 절댓값, 켤레복소수, 역원 구하기(2점), D < 0인 이차방정식 풀기(2~3점)가 자주 나와요. 최종 답은 꼭 a + ib 꼴로 쓰세요.
핵심 공식과 정의
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
풀이 예제
1. i⁵⁷과 i⁻³을 구하세요.
57 = 4 × 14 + 1이므로 i⁵⁷ = i¹ = i예요. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i예요. 분자와 분모에 i를 곱하면 −i/i² = −i/(−1) = i예요. 따라서 i⁻³ = i예요.
2. (5 − 3i) + (−2 + 7i)와 (5 − 3i) − (−2 + 7i)를 계산하세요.
합: 실수부분 5 + (−2) = 3, 허수부분 −3 + 7 = 4이므로 3 + 4i예요. 차: 실수부분 5 − (−2) = 7, 허수부분 −3 − 7 = −10이므로 7 − 10i예요.
3. (2 + 3i)(4 − i)를 계산하세요.
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². i² = −1을 넣으면 8 + 3 + 10i = 11 + 10i예요.
4. z = 3 − 4i의 절댓값, 켤레복소수, 곱셈의 역원을 구하세요.
|z| = √(9 + 16) = 5예요. z̄ = 3 + 4i예요. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i예요. 확인: (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. (1 + 2i)/(3 − i)를 a + ib 꼴로 쓰세요.
분자와 분모에 3 + i를 곱해요. 분모: 9 + 1 = 10. 분자: (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. 답: 1/10 + (7/10)i.
6. 2x² − 2x + 1 = 0을 푸세요.
a = 2, b = −2, c = 1이에요. D = 4 − 8 = −4 < 0이므로 √D = 2i예요. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i예요. 두 해 1/2 + i/2와 1/2 − i/2는 서로 켤레예요.
7. (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i를 만족하는 실수 x, y를 구하세요.
두 복소수가 같으면 실수부분끼리, 허수부분끼리 같아요. x + 2y = 5, 2x − y = 5예요. 두 번째 식에서 y = 2x − 5예요. 그러면 x + 4x − 10 = 5이므로 x = 3, y = 1이에요.
8. (a + ib)/(c + id) = x + iy이면 (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y²임을 보이세요.
양변의 절댓값을 취해요. |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. 즉 √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²)예요. 양변을 제곱하면 결과가 나와요.
자주 하는 실수
- i² = 1이라고 쓰는 것. 정답은 i² = −1이에요. 이것이 i를 만든 이유예요.
- √(−4)·√(−9) = √36 = 6이라고 하는 것. 둘 다 음수이면 먼저 2i · 3i = 6i² = −6으로 써요.
- 복소수로 바로 나누는 것. 언제나 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱하세요.
- 3 + 2i > 1 + i라고 말하는 것. 허수가 섞인 복소수는 크기를 비교할 수 없어요. 절댓값으로 비교하세요.