연속이란 무엇일까?
함수 f가 x = a에서 연속이라는 것은 세 가지가 서로 같다는 뜻입니다.
- 좌극한 (a보다 조금 작은 값에서 다가갈 때),
- 우극한 (a보다 조금 큰 값에서 다가갈 때),
- 실제 함숫값 f(a).
간단히 쓰면 lim(x→a) f(x) = f(a)입니다. 하나라도 없거나 다르면 a에서 그래프가 끊어집니다(구멍 또는 점프).
다항함수, sin x, cos x, eˣ, ln x(x > 0)는 정의된 곳에서 항상 연속입니다. 연속인 함수끼리의 합, 차, 곱, 나눗셈(분모가 0이 아닐 때)도 연속입니다.
미분가능하면 연속이지만, 그 반대는 아니다
a에서 도함수가 있으면 a에서 반드시 연속입니다. 하지만 |x|는 0에서 연속이어도 미분은 안 됩니다. 그래프가 뾰족한 꼭짓점이라 왼쪽 기울기(−1)와 오른쪽 기울기(+1)가 다르기 때문입니다.
도함수와 합성함수 미분법
도함수 f′(x)는 x에서의 접선의 기울기입니다. f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
합성함수 미분법(함수 안에 함수가 있을 때): y = f(u), u = g(x)이면 dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
예: y = (3x + 1)⁵. 바깥: u⁵ → 5u⁴. 안쪽: 3x + 1 → 3. 따라서 dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
역삼각함수의 미분
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
tan⁻¹x의 이유: y = tan⁻¹x라 하면 tan y = x입니다. 미분하면 sec²y · dy/dx = 1, 따라서 dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
팁: x = tan θ 같은 알맞은 치환을 하면 복잡한 식이 미분하기 전에 간단해질 때가 많습니다.
음함수
x² + y² = 9 나 x³ + y³ = 3xy처럼 x와 y가 섞여 있을 때가 있습니다. y를 따로 풀 필요는 없습니다. 모든 항을 x에 대해 미분하되, y가 들어간 항을 미분할 때마다 dy/dx를 곱합니다(합성함수 미분). 그 뒤 dy/dx가 있는 항을 모아 정리합니다.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
지수함수와 로그함수
- d/dx (eˣ) = eˣ — 기울기가 높이와 같습니다.
- d/dx (ln x) = 1/x, x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
합성함수 미분과 함께: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x.
로그미분법
지수 자리에 x가 있을 때(xˣ, (sin x)^x 등)나 곱셈·나눗셈이 길게 이어질 때 씁니다.
- 양변에 ln을 취합니다: ln y = x ln x.
- 미분합니다: (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- y를 곱합니다: dy/dx = xˣ(1 + ln x).
매개변수로 나타낸 함수
x와 y가 모두 제3의 변수 t(매개변수)에 의존할 때가 있습니다. 예: x = t², y = 2t. 이때
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) (단, dx/dt ≠ 0).
원 x = r cos t, y = r sin t에서: dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t.
이계도함수
한 번 더 미분합니다: d²y/dx² = d/dx (dy/dx). f″(x) 또는 y₂라고도 씁니다.
기울기가 어떻게 변하는지 알려 줍니다. f″ > 0: 기울기가 커지며 그릇처럼 아래로 볼록합니다. f″ < 0: 모자처럼 위로 볼록합니다.
예: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
매개변수 꼴에서: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). d²y/dt²를 d²x/dt²로 그냥 나누면 안 됩니다.
핵심 공식과 정의
- a에서의 연속: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- 합성함수 미분: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- 매개변수: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- 이계도함수: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
풀이 예제
1. f(x) = 2x + 3 (x ≤ 1), f(x) = 6 − x (x > 1)은 x = 1에서 연속일까?
좌극한: 2(1) + 3 = 5. 우극한: 6 − 1 = 5. 함숫값 f(1) = 5. 세 값이 모두 같으므로 f는 x = 1에서 연속입니다.
2. f(x) = kx² (x ≤ 2), f(x) = 3 (x > 2)이 x = 2에서 연속이 되도록 k를 구하여라.
좌극한 = 함숫값 = 4k. 우극한 = 3. 연속이려면 4k = 3이므로 k = 3/4.
3. y = sin(x² + 5)를 미분하여라.
바깥 sin u → cos u, 안쪽 x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. −1 < x < 1에서 y = tan⁻¹(2x/(1 − x²))를 미분하여라.
x = tan θ로 놓으면 2x/(1 − x²) = tan 2θ이므로 y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. x² + xy + y² = 7일 때 dy/dx를 구하여라.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. 따라서 dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. y = e^(3x) · ln x를 미분하여라.
곱의 미분법: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. y = xˣ (x > 0)를 미분하여라.
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. x = a cos t, y = a sin t일 때 dy/dx와 d²y/dx²를 구하여라.
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t이므로 dy/dx = −cot t. d/dt(−cot t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t).
9. y = 3e^(2x) + 2e^(−x)일 때 y″ − y′ − 2y = 0임을 보여라.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
자주 하는 실수
- 합성함수 미분에서 안쪽 함수의 미분을 빠뜨리기: d/dx sin(3x)는 cos(3x)가 아니라 3cos(3x)입니다.
- 음함수 미분에서 d/dx(y²)를 2y·dy/dx 대신 2y로 쓰기.
- 연속이면 항상 미분가능하다고 생각하기. |x|는 0에서 연속이지만 꼭짓점이라 미분계수가 없습니다.
- 매개변수의 이계도함수를 구할 때 d²y/dt²를 d²x/dt²로 나누기. 대신 dy/dx를 t에 대해 미분한 뒤 dx/dt로 나누세요.